Geschwindigkeit der Konvergenz der Produktion auf dem ausgewogenen Wachstumspfad

Finden Sie heraus, wie schnell $ y $ in der Nähe des ausgeglichenen Wachstumspfads zu $ ​​y ^ * $ konvergiert   $$ y = Y / AL = f (k); \; y ^ * = f (k ^ *) $$   Sie schlagen den Hinweis vor und schreiben $ k = g (y) $, wobei $ g (\ bullet) = f ^ {- 1} (\ bullet)

$ Y $ ist Produktausgabe; $ AL $ ist effektive Arbeit; $ K $ ist Kapital; Kleinbuchstaben werden durch $ AL $ geteilt (z. B. $ y = Y / AL $); $ k ^ * $ ist der ausgewogene Wachstumspfad des Kapitals.

Dies ist das Problem $ 1,11 in Advanced Macro von Romer. Ich habe versucht es anzusehen Lagrange-Inversionssatz und Anwendung des obigen Befehls erhalten Sie für die Taylor-Reihe erster Ordnung mit einem Mittelpunkt um $ k ^ * $

$$ \ displaystyle g (y) = k ^ * + \ lim_ {k \ bis k ^ *} \ left (\ frac {yf (k ^ *)} {1!} \ right) \ frac {d ^ 0} {dw ^ 0} \ left (\ frac {kk ^ *} {f (k) -f (k ^ *)} \ right) $$

Da jedoch $ y = f (k) $ und die nullte Ableitung die Funktion selbst ist, erhalten wir die folgende Aufhebung:

$$ = k ^ * + \ lim_ {k \ bis k ^ *} \ frac {f (k) -f (k ^ *)} {f (k) -f (k ^ *)} (kk ^ *) $$

$$ = k ^ * + \ lim_ {k \ bis k ^ *} (k - k ^ *) = k ^ * $$

Was uns nichts sagt ... Müssen wir uns die Ableitung zweiter Ordnung ansehen?

Ich glaube, dass es hier einen schnelleren Weg gibt. Mit dem inversen Funktionssatz haben wir

$$ y = f (k) \ impliziert k = f ^ {- 1} (y) = f ^ {- 1} [f (k)] \ impliziert \ frac {\ partielle f ^ {- 1} (y) } {\ partial y} = \ frac {1} {f '(k)} $$

In Anbetracht all dieser Beziehungen haben wir auch

$$ \ dot y = f '(k) \ cdot \ big [sf (k) - (n + g + \ delta) \ cdot f ^ {- 1} (y) \ big] $$

$$ \ impliziert \ frac {\ partial \ dot y} {\ partial y} \ bigg | _ {y = y ^ *} = \ frac {\ partial f '(k ^ *)} {\ partial y} \ cdot \ big [sf (k ^ *) - (n + g + \ delta) \ cdot k ^ * \ big] \\ + f '(k ^ *) \ cdot \ left [s - (n + g + \ delta) \ cdot \ frac {1} {f '(k ^ *)} \ right] $$

$$ \ impliziert \ frac {\ partial \ dot y} {\ partial y} \ bigg | _ {y = y ^ *} = 0 + sf '(k ^ *) - (n + g + \ delta) $$

usw

Okay, in dem Buch haben sie sich die erste Order Taylor-Serie von $ \ dot {k} $ angesehen, also, wie @denesp sagte, brauchen wir auch hier die Zeit! Hier sollten wir uns die Taylor-Serie um $ \ dot {y} $ ansehen

$$ \ displaystyle \ dot {y} (y) \ simeq \ left [\ frac {\ partial \ dot {y} (y)} {\ partiell y (k)} \ bigg | _ {y = y ^ *} \ right] (y (k) - y (k ^ *)) $$

$$ \ frac {\ partial \ dot {y} (y)} {\ partiell y (k)} \ bigg | _ {y = y ^ *} = \ left (\ frac {\ partial \ dot {y} ( y)} {\ partielles k (t)} \ bigg | _ {y = y ^ *} \ right) \ left) (\ frac {\ partielles k (t)} {\ partielles y (k)} \ bigg | _ {k = k ^ *} \ right) $$

Zuerst schauen wir uns an:

$$ y = f (k) $$

$$ \ Rightarrow \ dot {y} = \ frac {d} {dt} f (k) = \ frac {df} {dk} \ frac {dk} {dt} = f '(k) \ dot {k} $$

Wir wissen, dass die Schlüsselgleichung des Solow-Modells ist:

$$ \ dot {k} (t) = sf (k (t)) - (n + g + \ delta) k (t) $$

$$ \ Rightarrow \ dot {y} = f '(k) \ left [sf (k (t)) - (n + g + \ delta) k (t) \ right] $$

Die Ableitung davon nehmen wir in Bezug auf das Kapital:

$$ \ frac {\ partial \ dot {y}} {\ partial k} = f '' (k) \ left [sf (k (t)) - (n + g + \ delta) k (t) \ right] + f '(k) \ left [s f' (k) - (n + g + \ delta) \ right] $$

Der Wert $ k ^ * $ ist der goldene Regel Höhe des Grundkapitals so:

$$ s f (k ^ *) = (n + g + \ delta) k ^ * $$

Und daher

$$ \ left (\ frac {\ partial \ dot {y}} {\ partial k} \ bigg | _ {y = y ^ *} \ right) = f '' (k ^ *) * (0) + f '(k ^ *) \ left [sf' (k ^ *) - (n + g + \ delta) \ right] $$

Als nächstes verwenden wir den Hinweis (meiner Meinung nach nicht sehr viel und eher irreführend)

$$ \ left (\ frac {\ partial k (y)) {\ partiell y (t)} \ bigg | _ {k = k ^ *} \ right) = \ left (\ frac {\ partiell y (k) } {\ partielles k (t)} \ bigg | _ {y = y ^ *} \ right) ^ {- 1} = f '(k ^ *) ^ {- 1} = g' (y ^ *) $ $

Stecken Sie beide in unsere erste partielle Ableitung ein:

$$ \ frac {\ partial \ dot {y} (y)} {\ partiell y (k)} \ bigg | _ {y = y ^ *} = \ left (f '(k ^ *) \ left [s f '(k ^ *) - (n + g + \ delta) \ right] \ right) * \ left (f' (k ^ *) ^ {- 1} \ right) $$

$$ = s f '(k ^ *) - (n + g + \ delta) $$

da um den ausgeglichenen Wachstumspfad $ s = (n + g + \ delta) k ^ * / f (k ^ *) $ und setzen

$$ - \ frac {\ partial \ dot {y} (y)} {\ partiell y (k)} \ bigg | _ {y = y ^ *} = \ lambda $$

$$ \ lambda = (n + g + \ delta) - \ frac {(n + g + \ delta) (k ^ *) * f '(k ^ *)} {f (k ^ *)} $$

Wenn $ \ alpha_k = \ frac {k * f '(k)} {f (k)} $ die Elastizität der Ausgabe in Bezug auf das Kapital ist, erhalten wir:

$$ \ lambda = (n + g + \ delta) (1- \ alpha_k (k ^ *)) $$

$ Y $ konvergiert also zu seinem ausgeglichenen Wachstumspfad-Wert