Definition des Matrix-Multiplikations-Exponenten

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Umgangssprachlich, die Definition des Matrix-Multiplikation Exponent ist der kleinste Wert , für die es ein bekannten - Matrix-Multiplikationsalgorithmus. Dies ist als formale mathematische Definition nicht akzeptabel. Ich schätze, die technische Definition ist so etwas wie das Infimum über alle , sodass in ein Matrixmultiplikationsalgorithmus existiert . $\omega$ $n^{\omega}$ $t$ $n^t$

In diesem Fall können wir nicht sagen , es ist ein Algorithmus für die Matrix-Multiplikation in oder sogar , nur für alle , dass gibt es einen Algorithmus existiert in . Häufig geben jedoch Arbeiten und Ergebnisse, die eine Matrixmultiplikation verwenden, ihre Kosten einfach als & . $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $\epsilon > 0$ $n^{\omega + \epsilon}$ $O(n^{\omega})$

Gibt es eine alternative Definition von , die diese Verwendung ermöglicht? Gibt es Ergebnisse , die Garantie , dass ein Algorithmus der Zeit oder vorhanden sein muss? Oder ist die Nutzung einfach schlampig? $\omega$ $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $O(n^{\omega})$

ds.algorithms linear-algebra

— David Harris
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Wenn Sie die Matrixmultiplikation nur als Black-Box verwenden möchten, können Sie am einfachsten sagen: "Sei

so, dass wir

Matrizen mit

-Arithmetikoperationen multiplizieren können ". Natürlich ist

dann nicht der Exponent der Matrixmultiplikation, sondern kann beliebig nahe sein. Wenn Sie den Exponenten Ihres Endlaufs in Dezimalschreibweise angeben möchten, müssen Sie derzeit ohnehin runden, da alle mir bekannten nichttrivialen Schätzungen für

entweder irrationale Zahlen oder unendliche Folgen sind.

ω

$\omega$

n \times n

$n \times n$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Markus Bläser

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wird typischerweise als das Infimum über alle reellen Zahlen definiert

für

gehen

, so dass es eine ist

Zeitalgorithmus, Multipliziert zwei

Matrizen (wobei die Zeit istdie Anzahl der Additionen, Multiplikationen und Divisionen in der zugrunde liegendes Feld). Dies bedeutet auch, dass wir technisch immer

schreiben sollten,aber das wird chaotisch. Wenn Sie also

, sollten Sie

denken

ω

$\omega$

k

$k$

n

$n$

\infty

$\infty$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n \times n

$n\times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega+o(1)}$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

wobei

die Laufzeit eines Matrixmultiplikationsalgorithmus ist.

O (M (n))

$O(M(n))$

M (n)

$M(n)$

— Virgi

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Die Matrixmultiplikation Exponent wobei garantiert nicht , dass es einen Algorithmus ist, der ausgeführt wird in der Zeit , sondern nur , daß für jede , gibt es ein Algorithmus, der ausgeführt wird in . In der Tat , wenn Sie einen Algorithmus, der läuft in der Zeit finden , dann zeigt dies , dass . $\omega$ $O(n^\omega)$ $\epsilon > 0$ $O(n^{\omega+\epsilon})$ $O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$ $\omega = 2$

Die formale Definition finden Sie im Buch Algebraische Komplexitätstheorie von Peter Bürgisser, Michael Clausen, Amin Shokrollahi.

— MCH
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Ein kleiner Kommentar, der zu lang ist, um ein Kommentar zu sein:

Manchmal , wenn Sie ein Problem , für die haben , gibt es einen Algorithmus mit Laufzeit für jedes gibt es einen Algorithmus mit Laufzeit . $O(n^{k+\epsilon})$ $\epsilon>0$ $n^{k+o(1)}$

Zum Beispiel erhalten Sie manchmal Algorithmen, die wie für eine schnell wachsende Funktion (wie ). Wenn Sie auf (say) , ist o (1). In dem Beispiel mit als können Sie auswählen $f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$ $f$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $f(1/\epsilon)$ $\log n$ $\epsilon$ $f(1/\epsilon)$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $1/\epsilon$ sein , das ergibt , die O (1) ist. Die endgültige Laufzeit dieses Algorithmus ist also , da auch . $\log \log \log n$ $\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$ $n^{k+o(1)}$ $\log n$ $n^{o(1)}$

— Robin Kothari
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Ich stelle mir vor, dass der Coppersmith-Winograd-Algorithmus in diese Kategorie fällt.

— David Harris

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@ David Harris: Weiß nicht. Vielleicht kann jemand, der den Algorithmus versteht, etwas Licht ins Dunkel bringen. Ich wollte nur sagen, dass

oft nicht so schlecht ist, wie es aussieht.

O (n^{k + ϵ})

$O(n^{k+\epsilon})$

— Robin Kothari

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Das Ergebnis von Coppersmith und Winograd ist bekannt, dass -Zeit nicht mit einem einzigen Algorithmus realisiert werden kann. Aber ich habe gelesen, dass sie sich auf Algorithmen beschränken, die auf Strassen-ähnlichen bilinearen Identitäten basieren, deshalb weiß ich es nicht genau, da die Zeitung hinter einer Paywall steht. $O(n^{\omega})$

— Diego de Estrada
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$\omega$ $n^ω$ $n^\omega$

$\omega$ $\omega$

$2.3737$

— Bruno
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3

Ich verstehe nicht, wie menschliches Wissen Teil einer mathematischen Definition sein kann

— David Harris

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Jüngste Erfahrungen zeigen, dass es viel einfacher ist, über alle Algorithmen zu quantifizieren, als über alle Algorithmen, die der Menschheit derzeit bekannt sind ;-)

— Markus Bläser,