Zerlegen einer submodularen Funktion

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Gegeben ist eine submodulare Funktion auf wobei und disjunkt sind und . Hier sind und auf bzw. submodular . $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

Hier sind unbekannt und es wird nur ein Wertabfragezugriff auf gegeben. Dann gibt es einen Polytime-Algorithmus, der . Wenn es für mehrere Auswahlmöglichkeiten gibt , sollte eine davon in Ordnung sein. $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

Einige Gedanken. Wenn wir zwei beliebige Elemente so dass beide entweder zu oder zu gehören, können wir sie zusammenführen und rekursiv fortfahren. Es ist jedoch nicht klar, wie ein solcher Schritt umgesetzt werden soll. $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
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Wollen Sie damit sagen, dass

wobei

und

auf

bzw.

submodular sind ?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Chandra Chekuri

Ja, das habe ich wirklich gemeint. Vielen Dank, dass Sie auf den Tippfehler hingewiesen haben. Ich werde ihn korrigieren.

— Ashwinkumar BV

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e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

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Beschlossen, den Kommentar in eine Antwort zu verwandeln.

— Chandra Chekuri

Antworten:

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$e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— Chandra Chekuri
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