Was ist der Sinn der

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Ich glaube, ich verstehe es nicht, aber Konvertierung erscheint mir als eine Konvertierung, die nichts bewirkt, ein Sonderfall der Konvertierung, bei der das Ergebnis nur der Begriff in der Lambda-Abstraktion ist, weil nichts zu tun ist. Art einer sinnlosen Umwandlung. $\eta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Vielleicht ist -conversion etwas sehr Tiefes und anderes, aber wenn ja, verstehe ich es nicht und ich hoffe, Sie können mir dabei helfen. $\eta$

(Vielen Dank und Entschuldigung, ich weiß, dass dies Teil der Grundlagen der Lambda-Rechnung ist.)

lo.logic lambda-calculus extensionality

— Trylks
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Update [20.09.2011]: Ich habe den Abschnitt über -Erweiterung und Extensionalität erweitert. Vielen Dank an Anton Salikhmetov für den Hinweis auf eine gute Referenz. $\eta$

Umwandlung ist ein Sonderfall der Umwandlungnurin dem Sonderfall, in dem selbst eine Abstraktion ist, z. B. wenn dann $\eta$ $(\lambda x . f x) = f$ $\beta$ $f$ $f = \lambda y . y y$ Was aber, wenn eine Variable oder eine Anwendung ist, die sich nicht auf eine Abstraktion reduziert?

(λ x . f x) = (λ x . (λ y . y y) x) =_{β} (λ x . x x) =_{α} f .

$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$

f

$f$

In gewisser Weise ist -Regel wie eine spezielle Art von Extensionalität, aber wir müssen ein bisschen vorsichtig sein, wie das angegeben wird. Wir können Extensionalität angeben als: $\eta$

für alle Terme und , wenn dann ist , oder $\lambda$ $M$ $N$ $M x = N x$ $M = N$
für alle wenn dann . $f, g$ $\forall x . f x = g x$ $f = g$

Die erste ist eine Meta-Aussage zu den Begriffen des Kalküls. Darin erscheint als formale Variable, dh es ist Teil des Kalküls. Es kann aus -Regeln bewiesen werden, siehe zum Beispiel Theorem 2.1.29 in "Lambda Calculus: its Syntax and Semantics" von Barendregt (1985). Es kann als Aussage über alle definierbaren Funktionen verstanden werden, also solche, die Bezeichnungen von Termen sind. $\lambda$ $x$ $\lambda$ $\beta\eta$ $\lambda$

Die zweite Aussage ist, wie Mathematiker normalerweise mathematische Aussagen verstehen. Die Theorie von $\lambda$ Kalküls beschreibt eine bestimmte Art von Strukturen, nennen wir sie " Modelle $\lambda$ ". Ein Modell kann unzählig sein, daher gibt es keine Garantie dafür, dass jedes Element einem Term entspricht (genau wie es mehr reelle Zahlen gibt als reelle Ausdrücke). Die Extensionalität sagt dann: Wenn wir zwei Dinge und in einem Modell nehmen, wenn für alle im Modell, dann ist $\lambda$ $\lambda$ $f$ $g$ $\lambda$ $f x = g x$ $x$ $f = g$ . Selbst wenn das Modell die Regel erfüllt , muss es die Extensionalität in diesem Sinne nicht erfüllen. (Hier ist ein Hinweis erforderlich, und ich denke, wir müssen vorsichtig sein, wie Gleichstellung interpretiert wird.) $\eta$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um und Umwandlungen zu motivieren . Ich werde zufällig die kategorietheoretische auswählen, die als Kalkül verkleidet ist , und jemand anderes kann andere Gründe erklären. $\beta$ $\eta$ $\lambda$

Betrachten wir den typisierten Kalkül (weil er weniger verwirrend ist, aber für den untypisierten Kalkül mehr oder weniger die gleiche Argumentation gilt). Eine der grundlegenden Gesetze, sollte hält das Exponentialgesetz (Ich verwende die Notationen und austauschbar und wähle, was auch immer besser auszusehen scheint.) Was bewirken die Isomorphismen und $\lambda$ $\lambda$

C^{A \times B} ≅ (C^{B})^{A} .

$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$

A \to B

$A \to B$

B^{A}

$B^A$

i : C^{A \times B} \to (C^{B})^{A}

$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$

sehen aus wie in

Kalkül geschrieben? Vermutlich würden sie

und

j : (C^{B})^{A} \to C^{A \times B}

$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$

λ

$\lambda$

i = λ f : C^{A \times B} . λ a : A . λ b : B . f ⟨ a, b ⟩

$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$

Eine kurze Berechnung mit ein paar

-Reduktionen (einschließlich des

-Reduktionen

und

für Produkte) sagt unsdaß für jedes

wir haben

j = λ g : (C^{B})^{A} . λ p : A \times B . g (π_{1} p) (π_{2} p) .

$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$

β

$\beta$

β

$\beta$

π_{1} ⟨ a, b ⟩ = a

$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$

π_{2} ⟨ a, b ⟩ = b

$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$

g : (C^{B})^{A}

$g : (C^B)^A$

Da

und

Umkehrungen voneinander sind, erwarten wir

, aber tatsächlich beweisen wir verwenden müssen

-Reduktion zweimal:

i (j g) = λ a : A . λ b : B . g a b .

$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$

i

$i$

j

$j$

i (j g) = g

$i (j g) = g$

η

$\eta$

Dies ist also ein Grund für

Reduktionen. Aufgabe:Welche

Regel wird benötigt, um zu zeigen, dass

?

i (j g) = (λ a : A . λ b : B . g a b) =_{η} (λ a : A . g a) =_{η} g .

$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$

η

$\eta$

η

$\eta$

j (i f) = f

$j (i f) = f$

— Andrej Bauer
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"Außerdem habe ich gehört, dass es bei der η-Regel um die Erweiterung von Funktionen geht. Dies ist falsch."

β

$\beta$

β η

$\beta\eta$

β η

$\beta\eta$

η

$\eta$

β

$\beta$

η

$\eta$

1

=

$=$

=_{β}

$=_{\beta}$

M x = N x

$Mx=Nx$

M = N

$M=N$

M = N

$M=N$

M =_{β η} N

$M=_{\beta\eta}N$

η

$\eta$

M

$M$

N

$N$

1

@AndrejBauer Ich stimme zu, dass die η-Regel keine vollständige Extensionalität ist, aber denken Sie nicht, dass sie immer noch eine begrenzte Form der Extensionalität ist, dh, sie repräsentiert eine Klasse offensichtlicher Fälle von Extensionalität. Die ursprüngliche Frage ist die Suche nach Motivationen und Konzepten, und in diesem Fall halte ich es für nützlich, über Extensionalität nachzudenken (wobei natürlich darauf geachtet wird, nicht zu weit zu gehen).

— Marc Hamann

9

Zur Beantwortung dieser Frage können wir das folgende Zitat aus der entsprechenden Monographie „Lambda-Kalkül. Seine Syntax und Semantik “(Barendregt, 1981):

$\beta\eta$ $\lambda$ $\lambda + \text{ext}$ $\text{ext}$ $M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Sein Beweis basiert auf dem folgenden Theorem.]

$\lambda + \text{ext}$ $\lambda\eta$ $(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$ $N$ $\lambda\eta \vdash M = N$ $\lambda\eta + M = N$

HP-vollständige [nach Hilbert-Post] Theorien entsprechen maximal konsistenten Theorien der Modelltheorie für die Logik erster Ordnung.

7

Nur um Andrejs sehr gute Antwort zu ergänzen: die Theorie des Untyps $\lambda$ $\beta$ $\eta$

$\lambda x y.x$ $\lambda x y.y$ $\beta\eta$ $\beta\eta$
$\iota$
1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$
2. $\beta\eta$ $t$ $u$ $t=_\iota u$ $t\neq_{\beta\eta}u$

$t$ $u$ $t=_{\beta\eta\iota}u$

Dies ist eine Konsequenz von Böhms Satz.

— Cody
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6

$\eta$

$=_{\beta \eta}$ $\rightarrow_{\beta\eta}$ $M=N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$ $=_{\beta}$

$=_{\beta}$ $=_{\beta\eta}$ $\lambda x. Mx = M$ $Mx=Nx$ $M=N$

— Marcin Kotowski
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η

$\eta$

Siehe Satz 2.1.29 in der Monographie von Barendregt (Lambda-Kalkül und seine Semantik, 1985).

2

ξ

$\xi$

Und ich freue mich auch nicht darüber, dass Glück und „Gehörtes“ mehr Beachtung finden als direkt relevante Zitate mit den entsprechenden Hinweisen.

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

α

$\alpha$

β

$\beta$