Wurden Verallgemeinerungen der maximalen Gewichtsanpassung untersucht?

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Eine Möglichkeit, die maximale Gewichtsübereinstimmung anzuzeigen, besteht beispielsweise darin, dass jeder Scheitelpunkt ein Dienstprogramm , das dem Gewicht der Kante entspricht, an der es übereinstimmt, und ansonsten Null. $v$ $f_v= w(e_v)$

könnte eine maximale Gewichtsanpassung dann als Maximierung des Ziels . $\sum_v f_v$

Wurden Verallgemeinerungen der maximalen Gewichtsanpassung untersucht, die allgemeinere Zielfunktionen unter Verwendung von gewichtetem, multivariatem oder nichtlinearem berücksichtigen $f_v$ ?

Wurden andere Varianten untersucht, bei denen es sich um Verallgemeinerungen handelt?

Bitte geben Sie gegebenenfalls Hinweise!

ds.algorithms graph-theory

— Carter Tazio Schonwald
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Eine Klarstellung: Wollen Sie Verallgemeinerungen in dem Sinne, dass machbare Lösungen Übereinstimmungen sind, aber Ihre Zielfunktion unterscheidet sich von den üblichen Übereinstimmungen mit maximalem Gewicht (so etwas wie bei stabilen Ehen)? Oder Verallgemeinerungen in dem Sinne, dass machbare Lösungen auch eine Art von Verallgemeinerungen oder Lockerungen von Übereinstimmungen sind (so etwas wie unabhängige Mengen oder gebrochene Übereinstimmungen)?

— Jukka Suomela

Ersteres interessiert mich für verschiedene Zielfunktionen.

— Carter Tazio Schonwald

Bonus tolle Punkte für solche, die es vermeiden, NP hart oder vollständig zu sein

— Carter Tazio Schonwald

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Die maximale Gewichtsanpassung auf entspricht der maximalen gewichtsunabhängigen Einstellung im Liniendiagramm von und kann wie folgt geschrieben werden $G$ $G$

max_{x} \prod_{i j \in E} f_{i j} (x_{i}, x_{j})

$\max_{\mathbf{x}} \prod_{ij \in E} f_{ij}(x_i,x_j)$

Hier ist ein Vektor von Scheitelpunktbesetzungen, gibt 0 zurück, wenn x = y = 1, 1, wenn x = y = 0, andernfalls das Gewicht des Knotens, das nicht 0 ist. Sie können verallgemeinern, indem Sie beispielsweise andere Auswahlmöglichkeiten für und zulassen $\mathbf{x}\in\{0,1\}^n$ $f_{ij}(x,y)$ $\mathbb{x}$ $f$

Größte richtige Färbung $\mathbf{x}\in \{1,\ldots,q\}^n, f(x,y)=\delta(x-y)$
Ising Modell Grundzustand $\mathbf{x}\in \{1,-1\}^n, f(x,y)=\exp(J x y)$

Wenn Sie ein beliebiges nicht negatives zulassen , wird dies zum Problem, die wahrscheinlichste Einstellung von Variablen in einem Gibbs-Zufallsfeld zu finden, wobei Kanteninteraktionspotentiale darstellt. Wenn Sie weiter auf Hypergraphen verallgemeinern, wird Ihr Ziel $f$ $f$

max_{x} \prod_{e \in E} f_{e} (x_{e})

$\max_{\mathbf{x}} \prod_{e \in E} f_{e}(x_e)$

Hier ist eine Menge von Hyperkanten (Tupel von Knoten), und ist die Beschränkung von auf Knoten in Hyperedge . $E$ $x_e$ $x$ $e$

Beispiel:

Fehler beim Korrigieren der Decodierung, $\mathbf{x} \in \{1,\ldots,q\}^n, f(x_e)=\exp{\text{parity} (x_e)}$
MAP - Inferenz in Hypergraph strukturiert Wahrscheinlichkeitsmodell, beliebige nicht negative Funktion $f$

Wenn Sie in eine andere Richtung verallgemeinern, nehmen Sie an, dass Sie anstelle einer einzelnen maximalen Übereinstimmung höchstgewichtete maximale Übereinstimmungen finden möchten . Dies ist ein besonderer Fall, in dem wahrscheinlichste Erklärungen in einem Wahrscheinlichkeitsmodell gefunden werden. Das Ziel kann jetzt geschrieben werden als $m$ $k$

s o r t_{x} \prod_{e \in E} f_{e} (x_{i}, x_{j})

$sort_\mathbf{x} \prod_{e \in E} f_{e}(x_i,x_j)$

Siehe [ Flerova, 2010 ] zur Bedeutung des obigen Ziels.

Allgemeiner gesagt , anstatt Art, oder über reellen Zahlen, wir eine allgemeine betrachten können kommutative Halbring , wo und sind gehorchen abstrakte Operationen assoziative und distributive Gesetz. Das Ziel, das wir bekommen, ist jetzt $\prod$ $\max,\prod$ $(\cdot,+)$ $\cdot$ $+$

⨁_{x} ⨂_{e} f_{e} (x)

$\bigoplus_x \bigotimes_e f_e(x)$

Hier wird über alle Kanten eines Hypergraphen über Knoten übernommen, wird über Tupel von Werten übernommen, jedes nimmt zu und bildet einen kommutativen Halbring $\bigotimes$ $G$ $n$ $\bigoplus$ $n$ $f_e$ $x$ $E$ $(\bigotimes,\bigoplus,E)$

Beispiele:

Partitionsfunktion von Spin-Interaktionsmodellen: Verwenden Sie anstelle von $(*,+)$ $(\max,+)$
Schnelle Fourier-Transformation über abelsche Gruppen: Verwenden Sie abelsche Gruppen anstelle von $\mathbb{R}$

Was all diese Verallgemeinerungen zusammenbringt, ist, dass der bekannteste Algorithmus für bestimmte Fälle des obigen Problems oft der gleiche ist wie der allgemeinste Algorithmus, der manchmal als "verallgemeinertes Verteilungsgesetz" bezeichnet wird [ Aji, 2000 ] und in funktioniert. Zeit für begrenzte Baumbreiten-Hypergraphen. $O(1)$

Dies bringt eine genaue Lösung der oben genannten Probleme in einen einheitlichen Rahmen, jedoch fehlt ein solcher Rahmen für eine ungefähre Lösung (und ich möchte davon hören, wenn Sie anders denken).

— Jaroslaw Bulatow
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Vielen Dank! Dies ist die Art von Antwort, auf die ich gehofft hatte :)

— Carter Tazio Schonwald

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Es gibt verschiedene Erweiterungen des Problems auf allgemeinere Strukturen. Zum Beispiel:

Matroid Matching ( Vorlesungsunterlagen , Matroid Matching und einige Anwendungen , Matroid Matching: die Kraft der lokalen Suche )
Pfadanpassung ( Pfadanpassungsprobleme , Übereinstimmung, Matroiden und Erweiterungen )
Hypergraph Matching (Kann keine guten Referenzen finden)

Im Allgemeinen sind diese Erweiterungen NP-hart.

— Ian
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Was ist ein gutes Beispiel für einen Haufen, der nicht unlösbar ist?

— Carter Tazio Schonwald

Es gibt einige Sonderfälle, die nicht unlösbar sind. Matroid Matching ist für lineare Matroide lösbar (siehe "Matroid Matching und einige Anwendungen" oben), ebenso wie Path Path Matching für einige Gewichtungsfunktionen (siehe "Matching, Matroids und Extensions" oben).

— Ian

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Eine interessante Erweiterung (obwohl sie Ihnen vielleicht gut bekannt ist) ist die Variante, die eine teilweise Anpassung von Scheitelpunkten an andere Scheitelpunkte ermöglicht (in der zweiteiligen Einstellung). Diese Variante kann auch mit dem ungarischen Algorithmus gelöst werden und wird als Transportproblem bezeichnet (die resultierende Metrik wird als Transportmetrik, Erdbewegungsentfernung , Monge-Kantorovich-Wasserstein-Entfernung oder Malvenentfernung bezeichnet, je nachdem, wer du fragst).

— Suresh Venkat
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cool, ich werde in diesen Haufen schauen. Ich werde einen Tag warten, bevor ich es als Antwort auswähle, falls etwas anderes auftaucht, das cool ist und Beachtung verdient

— Carter Tazio Schonwald

Hier ist eine positive Abstimmung in der Zwischenzeit

— Carter Tazio Schonwald

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$f_v$

$f_v$ $0$ $v$ $n$ $v$ $n+1$ $v$

$\sum_v f_v$ $n^2 + n - 2|M| \ge n^2$ $M$ $n^2$ $\sum_v f_v$ $M$ $M$

$f_v$ $M$ $v$

— Jukka Suomela
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Ich frage mich, ob diese Frage CW sein sollte; es scheint, dass man in dieser Richtung beliebig viele Beispiele generieren kann.

— Jukka Suomela

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Wenn Sie etwas wollen, das nicht einfach auf das Problem der maximalen Gewichtsanpassung reduziert werden kann, ist hier ein Beispiel: das Problem der stabilen Ehe .

$f_v$ $v$ $0$ $v$ $1$ $\sum_v f_v$ $|V|$

$f_v$ $v$ $v$

$f_v$ $v$ $w(e)$ $e = \{u,v\}$ $f_u + f_v$ $M = \emptyset$ $M' = \{e\}$ $e$ $\sum_v f_v$

— Jukka Suomela
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f_{v}

$f_v$

f_{v} = w (e_{v})

$f_v = w(e_v)$

e_{v}

$e_v$

f_{v} = 0

$f_v = 0$

und w (e_v) ist natürlich das Gewicht der Kante e_v

— Carter Tazio Schonwald

M

$M$

(m, w)

$(m,w)$

m

$m$

w

$w$

w

$w$

m

$m$

f_{v}

$f_v$

f_{v} = 0

$f_v = 0$

v

$v$

f_{v} = 1

$f_v = 1$

f_{v} = 1

$f_v = 1$

f_{v}

$f_v$

f_{v}

$f_v$

@Carter: Wenn Sie mit Ihrer Definition das Optimierungsproblem lösen (das nur ein Sonderfall des Problems der maximalen Gewichtsanpassung ist), maximieren Sie das "totale Glück". Aber das ist nicht das, was Sie im stabilen Eheproblem wollen! Ein stabiles Matching maximiert nicht unbedingt das totale Glück, sondern die Stabilität der Lösung.

— Jukka Suomela

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Viele Varianten und Verallgemeinerungen werden in dem Buch von Lovasz und Plummer berücksichtigt .

— Ha
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