Gibt es bekannte NP-vollständige Probleme, weder NP-schwer im eigentlichen Sinne noch mit pseudopolynomialem Algorithmus?

In ihrer Arbeit (S. 503) bemerken Garey und Johnson:

... es könnte ein NP-vollständiges Problem geben, das weder im engeren Sinne NP-vollständig noch durch einen pseudo-polynomiellen Zeitalgorithmus lösbar ist ...

Kennt jemand einige Kandidatenprobleme mit den oben genannten Eigenschaften?

Ich denke, die mögliche Antwort auf diese Frage kann eine Liste von NP-vollständigen Problemen im gewöhnlichen Sinne sein, so dass für sie kein pseudopolynomieller Algorithmus bekannt ist.

— Oleksandr Bondarenko
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Ist es nicht möglich, ein künstliches Beispiel zu finden, indem man ein NP-vollständiges Problem mit einem pseudo-polynomialen Zeitalgorithmus und einer NP-intermediären Sprache aus Ladners Theorem kombiniert?

— Tsuyoshi Ito

Meine Antwort war falsch. Entschuldigen Sie. Das passiert, wenn ich mit der Hand winke und poste!

— Daniel Apon

Antworten:

Ich weiß nicht, ob Sie mehr über meinen Kommentar zu Ihrer Frage erfahren möchten, aber hier finden Sie trotzdem mehr Details.

Wenn P = NP, kann jedes Problem in NP in Polynomzeit und damit in Pseudo-Polynomzeit gelöst werden, was bedeutet, dass kein Problem Ihre Anforderung erfüllt, wie Magnus in seiner Antwort bemerkte. Nehmen wir also im Rest dieser Antwort P ≠ NP an.

Wegen P ≠ NP existiert eine Sprache L ∈NP ∖ P, die nicht NP-vollständig ist (Ladner-Theorem). Betrachten Sie das folgende Problem:

Direktes Produkt von Partition und L-
Instanz : m positive ganze Zahlen a ₁ ,…, a _m und k ganze Zahlen b ₁ ,…, b _k ∈ {0,1}.
Frage : Haben beide der folgenden Aussagen Gültigkeit?
(1) Die m ganzen Zahlen a ₁ ,…, a _m bilden eine Ja-Instanz des Partitionsproblems.
(2) Die k -Bit - String b ₁ ... b _k gehört L .

Definieren Sie nach dem Artikel von Garey und Johnson die Längenfunktion als m + mlog max _i a _i ⌉ + k und die Max-Funktion als max _i a _i .

Es ist eine Routine, um zu überprüfen, (i) ob es im schwachen Sinne NP-vollständig ist, (ii) ob es keinen Pseudo-Polynom-Zeit-Algorithmus gibt und (iii) ob es im starken Sinne NP-vollständig ist Sinn.

(Hinweise: (i) Die Zugehörigkeit zu NP ergibt sich aus der Tatsache, dass sowohl das Partitionsproblem als auch L in NP sind. Reduzieren Sie Partition für NP-Härte auf dieses Problem. (Ii) Konstruieren Sie eine pseudo-polynomiale Transformation von L zu diesem Problem. (iii) Konstruieren Sie eine Pseudo-Polynom-Transformation von diesem Problem nach L, indem Sie die Tatsache verwenden, dass Partition einen Pseudo-Polynom-Zeit-Algorithmus hat.)

Das Partitionsproblem in dieser Konstruktion hat nichts Besonderes: Sie können Ihr bevorzugtes, schwach NP-vollständiges Problem mit einem Pseudo-Polynom-Zeit-Algorithmus verwenden.

— Tsuyoshi Ito
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Danke für die Antwort. Ich interessierte mich mehr für nicht-künstliche Probleme im Gegensatz zu den von Ihnen beschriebenen. Ich bezweifle allerdings die Definition eines nicht-künstlichen Problems.

— Oleksandr Bondarenko

@Oleksandr: Für die Wahl von L können Sie eine beliebige NP-Zwischensprache verwenden. Sie haben jedoch Recht, dass diese Konstruktion unabhängig von der gewählten Sprache L ein künstliches Problem darstellt, da das direkte Produkt mit Partition verwendet wird. Ich kenne kein natürliches Problem, das Ihre Anforderungen erfüllt.

— Tsuyoshi Ito

Wie auch immer, Ihre Antwort ist interessant für mich und verdient eine Gegenstimme.

— Oleksandr Bondarenko

(Edit: Nevermind. :))

— Daniel Apon

Ich würde sagen, die Antwort ist eindeutig nein (das heißt, niemand weiß es), weil niemand weiß, ob die NP-vollständigen Probleme in Polynomzeit gelöst werden können, geschweige denn in Pseudo- Polynomzeit. (Jeder Polynomalgorithmus ist natürlich pseudopolynom.) Wenn Sie in NPC ein Problem finden, das in pseudopolynomialer Zeit nicht gelöst werden kann, haben Sie gerade bewiesen, dass P ≠ NP ist jederzeit bald produziert.

— Magnus Lie Hetland
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Ich habe meine Frage zu "Kennt jemand einige Kandidatenprobleme ...?"

— Oleksandr Bondarenko