Einbetten eines Diagramms als Sammlung von interjunkten Tetraedern

Definieren Sie ein Netz in 3D als zusammenhängende Sammlung von Tetraedern mit disjunkten Innenräumen (Tetraeder teilen also nur k-Flächen, ). Gibt es bei einem beliebigen Graphen ein effizientes Verfahren, um zu testen, ob es als Netz eingebettet werden kann? $k \le 2$

Hier ist eine Einbettung eine Abbildung von Scheitelpunkten des Graphen auf Punkte in und Kanten auf gerade Linien, so dass sich Kanten nur an Scheitelpunkten schneiden und Flächen sich nur an Kanten schneiden und sich keine zwei Flächen in ihrem Inneren schneiden. $R^3$

ds.algorithms graph-theory

— Suresh Venkat
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Meinen Sie Linien oder Liniensegmente? Bitte klären Sie die beiden Arten von Kanten: Flächen befinden sich in den Tetraedern und die Kanten, die Sie erwähnt haben, befinden sich in der Grafik ... Sie müssen auch, dass alle tetraedrischen Kanten Grafikkanten sind, oder ich werde einfach eine Grafik in die vollständige Grafik einbetten Ich bekomme von Punkten auf der Momentkurve.

— Jack

Ich meine Liniensegmente, und ja, alle tetraedrischen Kanten sind Graphenkanten. Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was Sie unter "zwei Arten" von Kanten verstehen.

— Suresh Venkat

Meinst du "Ist

das 1-Skelett eines Netzes?" oder "Ist

ein Untergraph des 1-Skeletts eines Netzes?" oder etwas anderes? Woher kommen die höherdimensionalen Gesichter?

G

$G$

G

$G$

— Jeffs

@ Jɛ ﬀ E Ich denke, basierend auf der Quelle der Frage sollte die korrekte Wiedergabe der Frage "Ist G das 1-Skelett eines Netzes" sein. Aber ich würde mich auch für den Fall interessieren, wenn G ein Teilgraph des 1-Skeletts ist. Somit sind die höherdimensionalen Flächen nicht Teil von G, aber die Anforderung, dass die Einbettung ein gültiges Netz sein muss, schränkt G ein. Ich hoffe, dass dies sinnvoll ist.

— Suresh Venkat

In der Härte der Einbettung einfacher Komplexe in $\mathbb{R}^d$ wird angegeben, dass mindestens so schwer ist wie das Erkennen einer 3-Kugel, von der bekannt ist, dass sie sich in NP befindet, von der jedoch nicht bekannt ist, dass sie sich in P befindet. Das sagen sie weiterhin Nach allem, was wir wissen, kann das Problem unentscheidbar sein. $\mbox{EMBED}_{3\rightarrow3}$

BEARBEITEN: Aktualisieren. Eigentlich gilt meine Antwort für PL-Einbettungen. Bei linearen Einbettungen liegt das Problem bekanntermaßen in PSPACE. Ich weiß nicht, ob noch etwas bekannt ist.

— Shaun Harker
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Ah, gute Referenz. Ich muss etwas genauer darüber nachdenken, da ihre Vorstellung von PL-Einbettungen möglicherweise etwas schwächer ist als die Vorstellung, die ich möchte (was sie als "lineare" Einbettung bezeichnen.

— Suresh Venkat

Oh, ich verstehe. Ich habe diese Nuance nicht verstanden. Verflixt. Nun, ich hoffe es ist trotzdem hilfreich :)

— Shaun Harker