Bei genauerer Betrachtung von Baier und Katoen ziehen sie sowohl endliche als auch unendliche Übergangssysteme in Betracht. Siehe Seite 20 dieses Buches für Definitionen.
Nehmen Sie zunächst das einfache Übergangssystem :EVEN
Lemma: Keine LTL-Formel erkennt die Sprache Traces ( E V E N ) . Ein String c ∈ L e v e n iff c i = a für gerade i . Siehe Wolper '81 . Sie können dies beweisen, indem Sie zunächst zeigen, dass keine LTL-Formel mit n "next-time" -Operatoren die Zeichenfolgen der Form p i ¬ p p ω für i > n unterscheiden kannLeven=(EVEN)c∈Levenci=ainpi¬ppωi>ndurch eine einfache Induktion.
Betrachten Sie das folgende (unendlich, nicht-deterministisch ) Übergangssystem . Beachten Sie, dass es zwei verschiedene Ausgangszustände gibt:NOTEVEN
Seine Spuren sind genau .{a,¬a}ω−Leven
NOTEVEN⊨ϕEVEN⊭¬ϕ
Betrachten Sie nun dieses einfache Übergangssystem :TOTAL
Seine Spuren sind eindeutig .{a,¬a}ω
Daher sind und keine Trace-Äquivalente. Angenommen, sie wären LTL-ungleichwertig. Dann hätten wir eine LTL-Formel so dass und . Aber dann . Das ist ein Widerspruch.NOTEVENTOTALϕNOTEVEN⊨ϕTOTAL⊭ϕEVEN⊨¬ϕ
Vielen Dank an Sylvain, der in der ersten Version dieser Antwort einen dummen Fehler entdeckt hat.