Was ist der schnellste Algorithmus, um den Rang einer rechteckigen Matrix zu berechnen?

Welcher Algorithmus berechnet bei einer Matrix ( m ≥ n vorausgesetzt ) am schnellsten den Rang und die Basis der Spalten?$m \times n$$m \ge n$

Mir ist bewusst, dass es durch eine lineare Überschneidung der Matroiden gelöst werden kann, die einen -Zeit- deterministischen Algorithmus und einen O ( m n ω - 1 ) -Zeit-randomisierten Algorithmus impliziert . Gibt es einen O ( m n ω - 1 ) zeitdeterministischen Algorithmus, der das Problem (oder die Gaußsche Eliminierung) direkter auf die Matrixmultiplikation reduziert?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Sie können eine Matrix in der Zeit O ( n ω + ϵ ) für jedes ϵ > 0 in die Staffelform bringen . Siehe das Buch "Algebraic Complexity Theory" von Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Abschnitt 16.5.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Nun wenden Sie dieses Verfahren mal auf Ihre m × n- Matrix an. Dies gibt einen Algorithmus mit O ( m n ω - 1 ) arithmetischen Operationen.$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Wenn Sie eine Matrix in die Staffelform bringen, dann enthält sie anschließend eine Nullmatrix der Größe n × n . Sie nehmen die verbleibende n × n- Matrix , fügen einen neuen n × n- Block Ihrer Eingabematrix hinzu und bringen diesen in die Staffelform und so weiter.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$