Techniken zum Umkehren der Reihenfolge von Quantifizierern

Es ist allgemein bekannt, dass die Reihenfolge der universellen und existentiellen Quantifizierer nicht umgekehrt werden kann. Mit anderen Worten, für ein allgemeines logisches Formel ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

Andererseits wissen wir, dass die rechte Seite restriktiver ist als die linke Seite; das heißt .$(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$

Diese Frage konzentriert sich auf Techniken, um abzuleiten , wann immer es für .$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$$\phi(\cdot,\cdot)$

Diagonalisierung ist eine solche Technik. Ich sehe ersten Einsatz von Diagonalisierung in dem Papier Relativierungen des Frage$\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ (siehe auch die kurze Notiz von Katz ). In dieser Arbeit beweisen die Autoren zunächst, dass:

Für jede deterministische Polynom-Zeit- M existiert eine Sprache B, so dass .$L_B \ne L(M^B)$

Sie kehren dann die Reihenfolge der Quantifizierer um (unter Verwendung der Diagonalisierung ), um zu beweisen, dass:

Es gibt eine Sprache B, so dass wir für alle deterministischen M .$L_B \ne L(M^B)$

Diese Technik wird in anderen Veröffentlichungen wie [CGH] und [AH] verwendet .

Ich habe eine andere Technik im Beweis von Satz 6.3 von [IR] gefunden . Es verwendet eine Kombination aus Maßtheorie und Pigeon-Hole-Prinzip , um die Reihenfolge der Quantifizierer umzukehren.

Ich möchte wissen, welche anderen Techniken in der Informatik verwendet werden, um die Reihenfolge der universellen und existentiellen Quantifizierer umzukehren.

Die Umkehrung von Quantifizierern ist eine wichtige Eigenschaft, die häufig hinter bekannten Theoremen steckt.

Zum Beispiel in der Analyse die Differenz zwischen und ist der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Kontinuität. Ein bekanntes Theorem besagt, dass jede punktweise stetige Karte gleichmäßig stetig ist, vorausgesetzt, die Domäne ist schön, dh kompakt .$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

Tatsächlich steht die Kompaktheit im Mittelpunkt der Quantifiziererumkehr. Betrachten wir zwei Datentypen und , von denen offenkundige und ist kompakt (siehe unten für die Erläuterung dieser Ausdrücke), und lassen eine Beziehung zwischen semidecidable sein und . Die Anweisung kann wie folgt gelesen werden: Jeder Punkt in wird von einer überdeckt . Da die Mengen "berechenbar offen" (semidecidable) und$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$ist kompakt, gibt es eine begrenzte Unterdeckung. Wir haben bewiesen, dass impliziert, dass Oft können wir die Existenz der endlichen Liste auf ein einzelnes reduzieren . Wenn zum Beispiel linear geordnet ist und in Bezug auf die Reihenfolge in monoton ist, können wir als das größte von annehmen .

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Um zu sehen, wie dieses Prinzip in einem vertrauten Fall angewendet wird, betrachten wir die Aussage, dass eine stetige Funktion ist. Wir behalten als freie Variable bei, um nicht mit einem äußeren universellen Quantor zu verwechseln: Da kompakt ist und der Vergleich von Realwerten halbentscheidbar ist, ist die Anweisung ist halbentscheidbar. Die positiven Realzahlen sind offenkundig und ist kompakt, sodass wir das Prinzip anwenden können: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Da in das kleinste von den Job bereits, also brauchen wir nur ein : Was wir haben, ist eine einheitliche Kontinuität von .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

Vage ausgedrückt ist ein Datentyp kompakt, wenn er einen berechenbaren Universalquantifizierer hat, und offen, wenn er einen berechenbaren Existenzquantifizierer hat. Die (nicht-negativen) Ganzzahlen sind offen, da um zu halbieren, ob , mit semidecidable, führen wir die Parallelsuche durch Verzahnung durch . Der Cantor-Raum ist kompakt und offen, wie Paul Taylors Abstract Stone Duality und Martin Escardos " Synthetic Topology of Datatypes and Classical Spaces " (siehe auch den verwandten Begriff der durchsuchbaren Räume ) erklären .$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

Wenden wir das Prinzip auf das von Ihnen erwähnte Beispiel an. Wir betrachten eine Sprache als Landkarte von (endlichen) Wörtern über ein festes Alphabet bis hin zu Booleschen Werten. Da endliche Wörter in einer berechenbaren bijektiven Korrespondenz mit ganzen Zahlen stehen, können wir eine Sprache als eine Karte von ganzen Zahlen zu booleschen Werten betrachten. Das heißt, der Datentyp aller Sprachen ist bis auf den berechenbaren Isomorphismus genau der Cantor-Raum nat -> booloder in mathematischer Notation , der kompakt ist. Eine Polynom Zeit Turing Maschine wird durch sein Programm beschrieben, das eine endliche String ist, damit der Raum aller (Darstellungen) Turing Maschinen können sein genommen werden oder , die offenkundigen ist.$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

Bei einer Turing-Maschine und einer Sprache ist die Anweisung die besagt, dass "Sprache von abgelehnt wird ", halbentscheidbar, weil sie tatsächlich entscheidbar ist: Führe einfach mit Eingabe und sieh, was es tut. Die Bedingungen für unser Prinzip sind erfüllt! Die Aussage "jede Orakelmaschine hat eine Sprache so dass von nicht akzeptiert wird " wird symbolisch als Nach Inversion von Quantifizierern erhalten wir $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Ok, wir haben endlich viele Sprachen. Können wir sie zu einer einzigen kombinieren? Ich werde das als Übung belassen (für mich und dich!).

Vielleicht interessiert Sie auch die etwas allgemeinere Frage, wie transformiert werden kann zu einer äquivalenten Aussage der Form oder umgekehrt. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten, zum Beispiel:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Skolem Normalform ,
• Herbrand Normalform ,
• Gödels funktionale Interpretation .

Mit Impagliazzos Hardcore-Set-Lemma können Sie Quantifizierer im Kontext von Annahmen zur Rechenhärte wechseln. Hier ist das Originalpapier . Sie können Tonnen von verwandten Artikeln und Beiträgen von Googling finden.

Das Lemma sagt , dass , wenn für jeden Algorithmus A existiert eine große Menge von Eingaben auf dem ein eine feste Funktion f zu berechnen , fehlschlägt, dann in der Tat gibt es eine große Anzahl von Eingängen , an den jeder Algorithmus f mit Wahrscheinlichkeit zu berechnen , nicht nahe 1 / 2.

Dieses Lemma kann mit dem Min-Max-Theorem oder Boosting (eine Technik aus der Theorie des rechnergestützten Lernens) bewiesen werden, die beide Beispiele für Schaltquantifizierer sind.

Für mich hat der "kanonische" Beweis des Karp-Lipton-Theorems (dass ) dieses Aroma. Hierbei handelt es sich jedoch nicht um die eigentliche Satzaussage, in der Quantifizierer umgekehrt werden, sondern vielmehr um die "Quantifizierer" innerhalb des Modells der alternierenden Berechnung unter der Annahme, dass kleine Schaltkreise hat.$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Sie möchten eine Berechnung des Formulars simulieren

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

wobei ein Polynom-Zeit-Prädikat ist. Sie können dies tun, indem Sie eine kleine Schaltung auf (etwa) Erfüllbarkeit schätzen und so modifizieren , dass sie sich selbst überprüft und eine zufriedenstellende Zuweisung erzeugt, wenn ihre Eingabe erfüllbar ist. Dann erstelle für alle eine SAT-Instanz , die äquivalent zu und löse sie. Sie haben also eine äquivalente Berechnung des Formulars erstellt$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ ist gemäß erfüllbar .$C]$

Die grundlegende Verwendung der Vereinigungsbindung in der probabilistischen Methode kann als eine Möglichkeit interpretiert werden, die Reihenfolge der Quantifizierer umzukehren. Obwohl dies in der Frage bereits implizit erwähnt wird, weil der Beweis von Impagliazzo und Rudich ein Beispiel dafür ist, denke ich, dass es sich lohnt, dies expliziter zu formulieren.

Nehmen wir an, dass X endlich ist und dass für alle x ∈ X , wissen wir nicht nur , dass einige y ∈ Y erfüllt φ ( x , y ) , sondern auch , dass viele Entscheidungen von y ∈ Y satisfy φ ( x , y ). Nehmen wir formal an, wir kennen (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | für ein probabilistisches Maß für Y. Dann gebunden Union ermöglicht es uns , Pr abzuschließen _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ¬ φ ( x , y )] <1, was äquivalent ist (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ).

Es gibt Variationen dieses Arguments:

1. Wenn X unendlich ist, können wir X manchmal diskretisieren, indem wir eine geeignete Metrik für X und ein ε- Netz davon berücksichtigen. Nach der Diskretisierung von X können wir union bound wie oben verwenden.

2. Wenn die Ereignisse φ ( x , y ) für verschiedene Werte von x fast unabhängig sind, können wir das lokale Lemma von Lovász anstelle von union bound verwenden.

Ich möchte einige andere Techniken hinzufügen. Obwohl die ersten beiden Techniken nicht genau die Reihenfolge von universellen und existenziellen Quantifizierern umkehren, haben sie einen sehr ähnlichen Geschmack. Deshalb habe ich die Gelegenheit genutzt, sie hier zu beschreiben:

Mittelungs-Lemma: Wird verwendet, um und viele andere interessante Theoreme zu beweisen . Informell sei angenommen , dass die Gruppe von Abonnenten einer Bibliothek bezeichnet, die Gruppe von Büchern in der Bibliothek bezeichnet und für und die Aussage wahr ist, wenn "Abonnent" mag das Buch . " Das gemittelte Lemma besagt, dass: Wenn für jedes mindestens 2/3 von 's in so dass gilt, dann existiert ein einzelnes$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, so dass für mindestens 2/3 von in der Satz gilt. (Dies kann leicht durch reductio ad absurdum und ein Zählargument bewiesen werden .)$s$$S$$\phi(s,b)$

Lassen Sie nun und eine PPT-Maschine sein, die entscheidet . Angenommen, die Laufzeit von ist durch ein Polynom . Dann wird für jeden , und für mindestens 2/3 ‚s, , es gilt . Hier ist die Maschine , die Zufälligkeit verwendet und die charakteristische Funktion von . Das gemittelte Lemma wird dann verwendet, um zu zeigen, dass für jedes$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$Gibt es eine einzelnen , derart , daß mindestens 2/3 der für ‚s die Länge , . Dieses einzelne ist ein Hinweis für und daher für .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Lemma tauschen: Zachos und Fürer haben einen neuen probabilistischen Quantifikator eingeführt (was ungefähr "für die meisten" bedeutet). Sie haben bewiesen, dass (ohne Angabe von Details):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Es ist zu beachten, dass dies ein Logiksatz zweiter Ordnung ist.

Mit dem Swap-Lemma haben sie eine Reihe interessanter Theoreme bewiesen, wie den BPP-Theorem und den -Theorem von Babai . Ich verweise Sie auf das Originalpapier für weitere Informationen.$MA \subseteq AM$

Ein Satz ähnlich wie Karp-Lipton Satz erwähnt in Ryan Williams Beitrag: .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$