Ist die Menge aller primitiven Wörter eine primäre Sprache?

Ein Wort $w$ heißt primitiv , wenn es kein Wort $v$ und $k > 1$ so dass $w = v^k$ . Die Menge $Q$ aller primitiven Wörter über einem Alphabet $\Sigma$ ist eine bekannte Sprache. WLOG können wir wählen $\Sigma = \{ a,b \}$ .

Eine Sprache $L$ ist Primzahl , wenn für jede Sprache $A$ und $B$ mit $L = A \cdot B$ haben wir $A = \{\epsilon\}$ oder $B = \{ \epsilon \}$ .

Ist Q prime?

Mit Hilfe eines SAT - Solver ich zeigen konnte , dass wir entweder $\{a,b\} \subseteq A$ oder $\{a,b\} \subseteq B$ als sonst $\{ ababa, babab \} \subset Q$ kann nicht faktorisierenden in $A$ und $B$ stecken aber seitdem fest.

Die Antwort ist ja. Angenommen , wir haben eine Faktorisierung $Q = A\cdot B$ .

Eine einfache Beobachtung ist, dass $A$ und $B$ disjunkt sein müssen (da wir für $w\in A\cap B$$w^2\in Q$ ). Insbesondere kann nur eines von $A,B$$\epsilon$ enthalten . Wir können davon ausgehen , oBdA (da der andere Fall völlig symmetrisch ist) , dass $\epsilon\in B$ . Dann, da $a$ und $b$ nicht in nicht leere Faktoren zerlegt werden können, müssen wir $a,b\in A$ .

Als nächstes erhalten wir, dass $a^mb^n\in A$ (und ganz analog $b^ma^n\in A$ ) für alle $m,n>0$ durch Induktion auf $m$ :

Für $m=1$ müssen wir , da $ab^n\in Q$ , $ab^n = uv$ mit $u\in A, v\in B$ . Da $u\neq\epsilon$ , muss $v$ für einige k ≤ n $b^k$ . Aber wenn k > 0 ist , dann erhalten wir, da b ∈ A ist , b 1 + k ∈ Q , einen Widerspruch. So$k\le n$$k>0$$b\in A$$b^{1+k}\in Q$$v=\epsilon$ und$ab^n\in A$ .

Für den induktiven Schritt, da $a^{m+1}b^n\in Q$ haben wir $a^{m+1}b^n = uv$ mit $u\in A, v\in B$ . Da wieder $u\neq\epsilon$ haben wir entweder $v = a^kb^n$ für einige $0<k<m+1$ oder $v=b^k$ für einige $k<n$ . Aber im ersteren Fall ist$v$ nach der Induktionshypothesebereits in$A$ , so dass$v^2\in Q$ Widerspruch ist. Im letzteren Fall müssen wir$k=0$ (dh$v=\epsilon$ ), dawirvon$b\in A$$b^{1+k}\in Q$ . So$u=a^{m+1}b^n\in A$ .

Betrachten wir nun den allgemeinen Fall von primitiven Wörtern mit $r$ Abwechslungen zwischen $a$ und $b$ , dh $w$ ist entweder $a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_s}b^{n_s}$ , $b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_s}a^{n_s}$ (für $r=2s-1$ ), $a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_{s+1}}$ oder$b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_{s+1}}$ (für$r=2s$); wir können zeigen, dass sie alle in$A$indemwirInduktion auf$r$. Was wir bisher gemacht haben, betraf die Basisfälle$r=0$und$r=1$.

Für $r>1$ wir eine andere Induktion für $m_1$ , die in etwa so funktioniert wie die für $r=1$ oben:

Wenn $m_1=1$ , dann ist $w=uv$ mit $u\in A, v\in B$ , und da $u\neq\epsilon$ , hat $v$ weniger als $r$ Wechsel. Also ist $v$ (oder seine Wurzel, falls $v$ selbst nicht primitiv ist) nach der Induktionshypothese für r in $A$ für einen Widerspruch wie oben, es sei denn, v = ϵ . So w = u ∈ A .$r$$v=\epsilon$$w=u\in A$

Wenn $m_1>1$ in jeder Faktorisierung $w=uv$ mit $u\neq\epsilon$ , $v$ entweder hat weniger Alternationen (und seine Wurzel ist in $A$ außer wenn $v=\epsilon$ durch die Induktions Hypothese auf $r$ ) oder einem kürzeren ersten Block (und ihre Wurzel ist in A, es sei denn, $v=\epsilon$ nach der Induktionshypothese zu $m_1$ ). In jedem Fall bekommen wir , dass wir müssen $v=\epsilon$ , dh $w=u\in A$ .

$Q' := Q\cup\{\epsilon\}$$Q = A\cdot B$$A$$B$$Q'$$A\cap B = \{\epsilon\}$$a,b$$A\cup B$

$a$$b$$a\in A$$b\in B$$w\in Q'$$w=uv$$u\in A\setminus\{\epsilon\}$$v\in B\setminus\{\epsilon\}$$ba$$A$$B$

• $ba\in A$$aba$$ba,a\notin B$$aba\in A$$abab\in A\cdot B$$aba\in B$$bab$$A$$bababa\in A\cdot B$$B$$abab\in A\cdot B$$babab$$bab\notin A\cup B$$abab,baba$$babab\in A$$aba\in B$$(ba)^4\in A\cdot B$$babab\in B$$a\in A$$(ab)^3\in A\cdot B$$babab\in A\cdot B$
• $ba\in B$$bab$$B$$A$$aba$$A$$B$$ababa$$A$$B$

Ich bin mir derzeit nicht sicher, wie ich darüber hinaus vorgehen soll. Es wäre interessant zu sehen, ob das obige Argument systematisch verallgemeinert werden kann.