Reversible Polynomschaltung iff Polynomreversible Schaltung?

Meine Frage betrifft effizient berechenbare bijektive Funktionen. Informell interessiert mich:

Wenn eine Bijektion in Polynomzeit berechenbar ist, können wir sie dann durch eine Polynomzahl von Bijektivgattern berechnen?

Ich habe die Liste der relevanten Fragen überprüft und diese nicht entdeckt. Meine genaue Einstellung kann orthodox sein oder auch nicht, daher füge ich meine Definitionen hinzu. Ich glaube, die Frage ist auf Forschungsniveau, aber ich bin froh, dass ich mich als falsch erwiesen habe.

Sei . Definieren wir ein Gate als ein Element von für ein endliches . Für endliches definieren Sie und definieren Sie . Für zwei Tore schreiben Sie für die Permutation definiert durch für , Dabei ist \ cdot die Verkettung von Wörtern. Für eine Reihe von Toren G schreiben$B = \{0,1\}$A l t ( B n ) n N G N = ⋃ n ≤ N A l t ( B n ) G ∞ = ⋃ n A l t ( B n ) π 1 ∈ A l t ( B. m ) , π 2 ∈ A l t ( B.$\mathrm{Alt}(B^n)$$n$$N$$G_N = \bigcup_{n \leq N} \mathrm{Alt}(B^n)$$G_\infty = \bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi_1 \in \mathrm{Alt}(B^m), \pi_2 \in \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi = \pi_1 | \pi_2$$B^{m+n}$$\pi(u \cdot v) = \pi_1(u) \cdot \pi_2(v)$$u \in B^m, v \in B^n$$\cdot$$G$$\lceil G \rceil$ für die kleinste Teilmenge von $\bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)$ die die Identitätskarten enthält und unter genau definierten Funktionszusammensetzungen $(\pi_1, \pi_2) \mapsto \pi_1 \circ \pi_2$ , und unter der Operation $|$.

Es ist bekannt, dass für alle ist. Lassen Sie uns für die Konkretheit festlegen . Konkret bedeutet dies, dass jedes für jedes als für einige kann. wobei für jede existiert und , so dass für alle .$\lceil G_N \rceil = G_\infty$$N \geq 4$$N = 4$$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$n \geq N$$\pi = \phi_k \circ \cdots \circ \phi_2 \circ \phi_1$$k$$\phi_i$$\ell_i$$\pi_i \in \mathrm{Alt}(B^4)$$\phi_i(u \cdot v \cdot w) = u \cdot \pi_i(v) \cdot w$$|u| = \ell_i, |v| = 4$

Für eine gerade Permutation. Wenn , definieren Sie seine reversible Gate-Komplexität als das minimale so dass als eine Komposition wie die obige geschrieben werden kann. Wenn , definieren Sie die Gate-Komplexität von als . (Möglicherweise möchte man die Konjugation von Gates durch die Permutationen von . Dies ändert die Gate-Komplexität nur um einen linearen Faktor, so dass es für den vorliegenden Zweck keine Rolle spielt.)$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$n \geq 4$k π n < 4 π 1 u a b v ↦ u b a v$k$$\pi$$n < 4$$\pi$$1$$uabv \mapsto ubav$

Angenommen, sowohl als auch seine Inverse sind in gewissem Sinne effizient berechenbar, z. B. Polynomzeit, NC , Logspace ... Ist die reversible Gate-Komplexität von dann notwendigerweise Polynom in ?$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$d π n$^d$$\pi$$n$

Ich interessiere mich für eine Antwort oder Referenzen.

Einige Beobachtungen:

• Der Beweis des Barrington-Theorems zeigt, dass für ein festes , wenn die spezielle Form für eine Funktion , so dass die Permutationen in den Fasern sind gerade für jedes , dann ist die reversible Gate-Komplexität von in polynomisch, wenn in NC . Wenn es nämlich eine NC Schaltung für , dann gibt es eine NC Schaltung (um einen konstanten Faktor größer) mit$m \geq 3$$\pi$$\pi(u \cdot w) = \psi(u, w) \cdot w$$\psi : B^m \times B^n \to B^m$$w$$\{u \cdot w \;|\; u \in B^m\}$$w \in B^n$$\pi$$n$$\pi$1 1 ψ 1 2 m ! / 2 m n π$^1$$^1$$\psi$$^1$$2^m!/2$ spezielle Ausgabeknoten, die aufzeichnen, ob eine bestimmte Permutation in den ersten Koordinaten durchgeführt wurde. Wir können dann zeigen (wie im Beweis des Barrington-Theorems), dass für jeden Knoten in diesem Netzwerk jede gerade Permutation, die von einem beliebigen Wert dieses Knotens abhängig ist, eine Schaltungskomplexität in Polynomgröße in . Kombinieren Sie nun diejenigen, die den neuen Spezialknoten entsprechen, um eine Polynomgatterkomplexität für .$m$$n$$\pi$

• Bennetts Trick zeigt (unter anderem), dass wenn und die Gatekomplexität (berechenbar durch ein azyklisches Netzwerk von klassischen Gates mit zwei Eingängen). dann gibt es eine Permutation mit einem Polynom der reversiblen Gatekomplexität in so dass für alle . Lassen Sie nämlich die Werte des Netzwerks in den letzten Bits berechnen, um eine topologische Sortierung des Netzwerks vorzunehmen (vorausgesetzt, sie sind ; ansonsten ist uns das egal). Sei$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi^{-1}$$m$$m$$\pi' \in \mathrm{Alt}s(B^{n+m})$$n + m$$\pi'(u \cdot 0^{n+m}) = (\pi(u) \cdot 0^{n+m})$$u \in B^n$$f$$m$$0$$g$nsei die Abbildung, die die Antwortbits mit den Bits nach summiert . Lassen Sie das erste und zweite Wort der Länge austauschen . Dann beweist die Behauptung.$n$$n$$u$$h$$n$$h \circ f^{-1} \circ g \circ f$

• Einweg-Bijektionen in der Kryptographie sind Permutationen von , die die Eigenschaft haben, dass sie in Polynomzeit berechnet, aber nicht in Polynomzeit invertiert werden können. (Ihre definierende Eigenschaft ist viel stärker, aber ich denke nicht, dass sie hier relevant ist.) Ich weiß nicht, ob diese spezielle Definition direkt etwas mit dem vorliegenden Problem zu tun hat, da es sich um ein ungleichmäßiges Berechnungsmodell handelt .$B^n$

Sei eine Funktion. Definieren Sie dann eine Bijektion indem Sie . Wenn dann eine reversible Gatekomplexität , kann durch eine Boolesche Schaltung mit einem -Gatter der Breite berechnet werden . Mit anderen Worten, hat nur dann eine geringe Komplexität des reversiblen Gates, wenn durch eine Schaltung mit sehr geringer Breite berechenbar ist.$f:2^{m}\rightarrow 2^{n}$$L_{f}:2^{m}\times 2^{n}\rightarrow 2^{m}\times 2^{n}$$L_{f}(x,y)=(x,f(x)\oplus y)$$L_{f}$$k$$f$$O(k)$$m+n$$L_{f}$$f$