Hat es Fortschritte bei der Straffung des Exponenten gegeben, so dass die Polylog-Unabhängigkeit

Braverman zeigte, dass Verteilungen, die -weise unabhängigeNarrentiefe-Schaltungender Größedurch "Zusammenkleben" der Smolensky-Näherung und der Fourier-Näherung von-berechnbaren Booleschen Funktionen. Der Autor und diejenigen, die diese ursprüngliche Vermutung vermutet hatten, dass der Exponent dort aufreduziert werden kann $(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$ $\epsilon$ $d$ $AC^0$ $m$ $AC^0$ $O(d)$ und ich bin neugierig, ob diesbezüglich Fortschritte erzielt wurden, da ich mir vorstellen würde, dass ein Polynom erzeugt werden muss, dessen Korrelationsabstand eng ist, und das tatsächlich mit der Funktion für eine große Anzahl von Eingaben übereinstimmt, und ich denke, dass dies der Fall wäre eine sehr interessante Annäherung zu finden, ohne diese beiden zusammenzukleben. Gibt es einen Grund zu der Annahme, dass eine solche Annäherung einen Grad , der nicht bekannt war, als Braverman 2010 seine Arbeit schrieb? $O(d^2)$

Eine andere Frage zu diesem Artikel, die ich habe, ist, dass die ursprüngliche Vermutung Boppanas Empfindlichkeitsgrenze ähnelt, obwohl sie in einem Artikel enthalten war, der vor dieser Bindung geschrieben wurde. Dies ist natürlich kein Zufall, da diese Grenze der Fourier-Konzentration entsprechen würde, die Sie aus Boppanas Grenze ableiten können, wenn das Fourier-Polynom funktioniert, aber gibt es eine bessere Intuition, die Sie kennen als die, "wenn das Fourier-Polynom funktioniert" , das ist es, was du bekommen würdest "eins?

boolean-functions fourier-analysis

— Samuel Schlesinger
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In seiner CCC'17-Arbeit [1] verbesserte Avishay Tal die Bindung an

\begin{matrix} (1) & {(Log \frac{m}{ε})}^{Ö (d)} . \end{matrix}

$\left(\log\frac{m}{\varepsilon}\right)^{O(d)}\,. \tag{1}$ Vielleicht möchten Sie S.15: 4 für eine Diskussion überprüfen. Es bezieht sich auch auf (siehe Fußnote 30 zueinemArtikelvon Harsha und Srinivasan, der (1) verbessert) und beantwortet Tals Vermutung:

k

$k$ weise unabhängig für

\begin{matrix} (2) & k = {(Log m)}^{Ö (d)} \cdot Log \frac{1}{ε} . \end{matrix}

$k = \left(\log m \right)^{O(d)}\cdot\log\frac{1}{\varepsilon}\,. \tag{2}$ genügt zu

ε

$\varepsilon$ Narrengröße-

m

$m$ Tiefe-

d

$d$ AC0-Schaltungen.

[1] Enge Grenzen des Fourierspektrums von $\mathsf{AC}_0$ , A. Tal. CCC'17.

[2] Zu polynomiellen Approximationen an $\mathsf{AC}_0$ , P. Harsha und S. Srinivasan. ZUFÄLLIG 2016,

— Clement C.
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@SamuelSchlesinger Gern geschehen!

— Clement C.