Gibt es für zwei beliebige nicht-isomorphe Graphen

Ich möchte sehr spezifisch sein. Kennt jemand einen Disproof oder einen Beweis für den folgenden Satz:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

Intuitiv sollte dies zutreffen, wenn alle nicht-isomorphen Graphen mit " local" unterschieden werden können , und ich würde mir vorstellen, dass dies falsch ist. Natürlich kann jeder Graph anhand der Polynomquantifizierertiefe unterschieden werden, da Sie einfach Ihren Graph-Modulo-Isomorphismus angeben können: $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

Edit: So scheint es, dass die Lokalitätsintuition, die ich hatte, falsch ist. Eine Formel der Quantifizierertiefe hat eine durch begrenzte Gaifman-Lokalität , was bedeutet, dass eine logarithmische Tiefenformel grundsätzlich global ist. Aus diesem Grund habe ich eine Vermutung, dass sich der Vorschlag als wahr herausstellen wird, was meiner Meinung nach viel schwieriger zu beweisen wäre . $k$ $O(3^k)$

— Samuel Schlesinger
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Was ist mit dem Pfad und zwei getrennten Pfaden mit der Länge

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Samuel Schlesinger

Der Pfad hat nur zwei Knoten vom Grad

, zwei Pfade haben vier. Das heißt, sie können durch eine Formel mit konstanter Größe unterschieden werden. Vielleicht haben Sie mit einem Kreis mehr Glück als mit zwei Kreisen, aber ich denke, sie lassen sich durch die Formel des Quantifiziererrangs

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

Hohe Bäume könnten eine Widerlegung bewirken, wenn sie sich in der Nähe der Blätter unterscheiden.

— András Salamon

@ EmilJeřábek ist das wahr ohne gleichheit?

— Samuel Schlesinger

@StellaBiderman Die Wahrheit von Formeln ohne Gleichheit wird durch surjektives Reflektieren (dh Beibehalten von Beziehungen in beiden Richtungen) von Homomorphismen bewahrt. Im Fall von Graphen erfüllen beispielsweise zwei beliebige Graphen ohne Kanten die gleichen Sätze. Allgemeiner kann man jeden Graphen nehmen und jeden Scheitelpunkt in eine unabhängige Menge sprengen.

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

Vielen Dank an meinen Kollegen Maxim Zhukovskii, der diese Antwort vorgeschlagen hat.

$G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

$n$ $\frac{n+3}{2}$

— Daniil Musatov
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