Über die Entsprechung der linken Einführung und Beseitigung der Implikation in Sequent Calculus und in Natural Deduction resp.

Könnte jemand eine intuitive ( nicht intutionistische) Erklärung für die Entsprechung der linken Einführung und der Beseitigung von Implikationen in Sequent Calculus (SC) bzw. Natural Deduction (ND) geben? Ich weiß, dass sie durch die Symmetrie von SC sollten, aber ich sehe nicht, wie sie einander entsprechen. Im Allgemeinen verstehe ich nicht, wie die linke Einführung eines Konnektivs in SC genau die Eliminierung in ND intuitiv macht.

In rechnerischer Hinsicht ist ein sequentieller Kalkülterm eine Sequentialisierung eines Lambda-Terms. Das heißt, als Typensystem betrachtet, kann die sequentielle Berechnung so gesehen werden, dass sie eine Bewertungsreihenfolge eines Lambda-Terms ergibt.

So nehme und & Ggr; ⊢ e 2 : A .$\Gamma \vdash e_1 : A \to B$$\Gamma \vdash e_2 : A$

In natürlicher Ableitung lautet der Begriff für die Implikationseliminierung - dh Anwendung. Beachten Sie jedoch, dass dies uns nicht sagt, ob wirzuerst e 1 oder zuerst e 2 bewerten sollen.$\Gamma \vdash e_1\;e_2 : B$$e_1$$e_2$

In der sequentiellen Berechnung muss eine entsprechende Zuordnung der Beweisbegriffe so aussehen

$$\mathsf{let}\; f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

sonst muss es so aussehen

$$\mathsf{let}\; v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

Hier ist die Let-Form der Beweisbegriff, der der Verwendung der Cut-Regel entspricht, und da alle linken Regeln nur auf Hypothesen / Variablen wirken, zwingt dies uns, alle Zwischenergebnisse an Variablen zu binden. Diese Anforderung stellt sicher, dass wir gezwungen sind, explizit zu sagen, welches von oder e 2 wir zuerst reduzieren und an eine Variable binden.$e_1$$e_2$

Für rein funktionale Sprachen spielt diese Aussage keine Rolle, aber wenn Sie Effekte hinzufügen, wird es einfacher, mit sequentiellen Kalkülen zu arbeiten. Aus diesem Grund werden Dinge wie Steuereffektkalküle / klassische Logik typischerweise als sequentielle Kalküle dargestellt.

Um es noch einmal zusammenzufassen: In ND sagt uns die Eliminierung eines Konnektivs, wie man es verwendet:

$A \wedge B$
$---$
$A$

$A \wedge B$
$---$
$B$

$A\wedge B$$A$$B$

Ebenso in SC:

$\Gamma,A\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

$\Gamma,B\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

$A$$B$$A\wedge B$$A$$B$

Im Allgemeinen geben SC-Einführungsregeln an, wann wir eine Verbindung verwenden können, und ND-Eliminierungsregeln geben an, wie eine Verbindung verwendet werden soll.

Nun, implizit haben wir in ND:

$A \rightarrow B$       $A$
$------$
$B$

In SC:

$\Gamma \vdash A,\Delta$       $\Sigma,B\vdash \Pi$
$----------$
$\Gamma,\Sigma, A\rightarrow B \vdash \Delta,\Pi$

$\Delta$$\Sigma$

$\Gamma \vdash A$       $B\vdash \Pi$
$-------$
$\Gamma, A\rightarrow B \vdash \Pi$

$\Gamma$$A$$B$$(\Pi)$$A\rightarrow B$$\Pi$