Sind die innersten Verringerungen im untypisierten λ-Kalkül ewig?

(Ich habe dies bereits bei MathOverflow gefragt, aber dort keine Antworten erhalten.)

Hintergrund

In dem nicht typisierten Lambda - Kalkül kann ein Begriff viele Redexe uber enthält, und verschiedene Möglichkeiten , über die man völlig unterschiedliche Ergebnisse zu reduzieren , erzeugen kann (zB die in ein Schritt ( -) reduziert sich entweder auf oder auf sich selbst). Verschiedene (Abfolgen von) Auswahlmöglichkeiten für die Reduzierung werden als Reduzierungsstrategien bezeichnet . Ein Term wird als normalisierend bezeichnet, wenn eine Reduktionsstrategie existiert, die bringt $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ $\beta$ $y$ $t$ $t$ zur normalen Form. Ein Term gilt als stark normalisierend, wenn jede Reduktionsstrategie zur Normalform bringt . (Ich mache mir keine Sorgen darüber, aber Konfluenz garantiert, dass es nicht mehr als eine Möglichkeit gibt.) $t$ $t$

Eine Reduktionsstrategie wird als normalisierend bezeichnet (und ist in gewisser Weise am besten möglich). Wenn immer eine normale Form hat, werden wir dort enden. Die Strategie ganz links ist die Normalisierung. $t$

Am anderen Ende des Spektrums wird eine Reduktionsstrategie als unbefristet bezeichnet (und ist in gewisser Weise am schlechtesten), wenn immer es eine unendliche Reduktionssequenz von einem Term , dann findet die Strategie eine solche Sequenz - mit anderen Worten, wir könnten möglicherweise nicht normalisieren, dann werden wir. $t$

Ich kenne die ewigen Reduktionsstrategien und gegeben sind durch: $F_\infty$ $F_{bk}$ und

\begin{array}{ll} F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & wenn t normalisiert sich stark \\ F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{b k} (t)] & Andernfalls \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

(In beiden Fällen ist der angegebene

Redex der amweitesten links stehendeim Term

- und bei normalen Formen sind Reduktionsstrategien notwendigerweise identisch.) Die Strategie

\begin{array}{ll} F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & wenn x tritt auf in s, oder wenn t ist in normaler Form \\ F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{\infty} (t)] & Andernfalls \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$ ist sogar maximal - wenn sie einen Term normalisiert, hat sie dazu eine möglichst lange Reduktionssequenz verwendet. (Siehe zB 13.4 in Barendregts Buch.)

$\beta$

\begin{array}{ll} L (t) = t & wenn t in normaler Form \\ L (λ x . s) = λ x . L (s) & zum s nicht in normaler Form \\ L (s t) = L (s) t & zum s nicht in normaler Form \\ L (s t) = s L (t) & wenn s, aber nicht t ist in normaler Form \\ L ((λ x . s) t) = s [t / x] & wenn s, t beide auf normaler Form \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

Die natürliche Intuition für die äußerste linke Verkleinerung ist, dass sie die ganze Arbeit erledigt - kein Redex kann verloren gehen, und so sollte es ewig dauern. Da die entsprechende Strategie für (untypisierte) kombinatorische Logik unbefristet ist (innerste Verringerungen sind für alle orthogonalen TRWs unbefristet), fühlt sich dies nicht nach völlig uneingeschränktem blauäugigem Optimismus an ...

Ist die äußerste linke Reduktion eine fortwährende Strategie für Untypisierte? $\lambda$

Wenn sich herausstellt, dass die Antwort 'nein' ist, wäre auch ein Zeiger auf ein Gegenbeispiel sehr interessant.

— kow
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Crosspost von MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

... wie in der allerersten Zeile erwähnt.

— kow

@kow: Ja, Sie haben Recht, und Crossposting hat nichts auszusetzen :) Der Link dient nur dazu, den Kommentaren und Antworten in MO zu folgen, um Doppelantworten zu vermeiden. Siehe die Diskussion zu Meta .

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

@kow: Wenn Sie das nächste Mal eine Frage stellen, vergessen Sie bitte nicht, einen Link hinzuzufügen, vorzugsweise in beide Richtungen.

— Tsuyoshi Ito

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$ .

Der erste Reduktionsschritt mit $F_\infty$ ist $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$ .

— Radu GRIGore
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