Warum wird dieses Verfahren zur Eliminierung von Schnitten beendet (Kontraktionsfall)?

In Melliès 'Umfrage Categorical Semantics of Linear Logic wird ein Schnitteliminierungsverfahren für intuitionistische lineare Logik angegeben, das den folgenden Fall umfasst:

3.9.3 Förderung vs. Kontraktion
Der Beweis wird in den Beweis transformiert $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ A}}{! Γ ⊢! A} Promotion \frac{\frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1},! A,! A, Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1},! A, Υ_{2} ⊢ B} Contraction}{Υ_{1},! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Cut$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B}}{\Upsilon_1 , !A , \Upsilon_2 \vdash B} \text{ Contraction} }{ \Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut}$ $\frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ A}}{! Γ ⊢! A} Promotion \frac{\frac{\frac{π_{1} ⋮}{! Γ ⊢ A}}{! Γ ⊢! A} Promotion \frac{π_{2} ⋮}{Υ_{1},! A,! A, Υ_{2} ⊢ B}}{Υ_{1},! A,! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Cut}{\frac{Υ_{1},! Γ,! Γ, Υ_{2} ⊢ B}{Υ_{1},! Γ, Υ_{2} ⊢ B} Series of Contractions and Exchanges} Cut$ $\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi_1\\\vdots}{!\Gamma \vdash A}}{!\Gamma \vdash !A} \text{ Promotion} \qquad \displaystyle\frac{\pi_2\\\vdots}{\Upsilon_1 , !A , !A , \Upsilon_2 \vdash B} }{ \Upsilon_1 , !A , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B } \text{ Cut} }{ \displaystyle\frac{\Upsilon_1 , !\Gamma , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B}{\Upsilon_1 , !\Gamma , \Upsilon_2 \vdash B} \rlap{\;\text{ Series of Contractions and Exchanges}} } \text{ Cut}$

Warum ist dies ein gültiger induktiver Schritt? Weder die Größe der Schnittformel noch die Größe der Ableitungen nehmen ab. (Im transformierten Beweis ist der rechte Zweig des unteren Schnitts möglicherweise größer, nachdem der obere Schnitt induktiv entfernt wurde.) Es ist also nicht klar, warum dieser Vorgang beendet werden sollte.

linear-logic

— Sebastien Zany
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Ich habe nur einen kurzen Blick darauf geworfen und es ist lange her, dass ich einen solchen Formalismus nicht gelesen habe, aber ich hatte den Eindruck, dass das Ziel hier darin besteht, den Schnitt nach einer Beförderung gegen Kontraktion zu entfernen. In diesem Fall funktioniert die Transformation, da sich jetzt jede Kontraktion unter dem Schnitt befindet, sodass die Schnitte im Ableitungsbaum nach oben gehen und induktiv eliminiert werden.

— Holf

Das Problem ist, dass im transformierten Proof der rechte Ast des unteren Schnitts möglicherweise größer ist, nachdem der obere Schnitt induktiv eliminiert wurde. (Wird dies zur Verdeutlichung hinzufügen.)

— Sebastien Zany

Ja, aber die Anzahl der Kontraktionen wurde um eins reduziert. Soweit ich das beurteilen kann (ich habe auch hier nicht zu sehr auf Details eingegangen), erhöhen keine anderen Transformationen die Anzahl der Kontraktionen. Wenn Sie sich also den Wert ansehen (#contraction, was auch immer Sie für den Rest benötigen), nimmt dieser Wert immer in der lexikografischen Reihenfolge ab, sodass er irgendwann endet.

— Holf

Funktioniert eine Variation des üblichen (Grad, Rang) Arguments nicht, abgesehen von dem, was holf und Neel gesagt haben? Ich meine, was ist der Unterschied zwischen diesem Schritt und der üblichen Eliminierung eines Schnittes bei einer Kontraktion in LJ? (Ich meine Gentzens intuitionistische Sequenzrechnung)

— Damiano Mazza

Aber wie eliminiert man den Schnitt B? Das einzige, was Sie im Fall Promotion-Cut anscheinend tun können, ist, die Positionen der beiden Schnitte A und B zu tauschen. Dann geraten Sie jedoch in genau dieselbe Situation. Wenn Sie B (das jetzt oben ist) eliminieren, können Sie die Anzahl der Kontraktionen über A erhöhen.

— Jérôme Fortier

Ich erweitere das, was ich als Kommentar geschrieben habe. Da der Beweis eine große Anzahl von Fällen enthält, gebe ich nur eine Vorstellung davon, warum diese Transformation endet. Die kurze Antwort lautet:

Im Fall von Beförderung gegen Kontraktion hat sich nach der Transformation die Anzahl der Kontraktionen in dem Teil des Beweises, der Schnitte enthält, um eins verringert.

Um ein bisschen mehr ins Detail zu gehen, würde ich sagen, dass Sie sich geirrt haben, weil Sie dachten, dass entweder die Anzahl der Schnitte oder die Größe des Beweises abnehmen sollte, um die Beendigung sicherzustellen. Die Beendigung kann jedoch durch Betrachtung anderer Parameter des Beweises nachgewiesen werden.

Wenn Sie die Kündigung nachweisen möchten, müssen Sie nur nachweisen, dass jede Regel eine begrenzte Anzahl von Malen angewendet wird. Sie können beweisen, dass die Transformation der Transformationsregel gegen die Kontraktion höchstens m Mal angewendet wird, wobei m die Anzahl der Kontraktionen in Ihrem ersten Beweis ist. Um dies zu beweisen, müssen Sie nur beachten, dass keine Regel eine neue Kontraktion im Proofbaum einführt. Und dieser verringert die Anzahl der Kontraktionen um eins. Sie können diesen Trick für alle anderen Regeln "Promotion vs etw" ausführen, um zu beweisen, dass diese nur eine begrenzte Anzahl von Malen angewendet wird.

— holf
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