Warum arbeiten Informatiker insgesamt unter der Annahme, dass P ≠ NP?

Von einem mathematischen Hintergrund, scheint es mir interessant , dass auf dem gesamten Computer neigen Wissenschaftler arbeiten unter der Annahme , dass $P \neq NP$ . Obwohl es in beiden Fällen keine Beweise gibt, wird dies im Allgemeinen mit einer angemessenen Menge an Stärke durchgeführt, es sei denn, etwas kann in Mathematik und Naturwissenschaften spezifisch nicht bewiesen werden. Ich habe das Gefühl, dass die Menschen in den Jahren, in denen sie versucht haben, zu widerlegen $P = NP$, die Tatsache, dass noch kein Beweis gefunden wurde, zumindest einige Informatiker dazu veranlassen würde, innerhalb der Parameter des Betrachtens von $P = NP$als möglicherweise wahr. Allerdings sehe ich oft Leute, die im Rahmen dessen arbeiten, dass es nicht wahr ist, und ich habe mich gefragt, warum? Es erscheint konservativer anzunehmen, dass in vielen Bereichen $P = NP$ . Ich habe unzählige Artikel darüber gelesen, wie viele Informatik- und CS-angrenzende Gebiete einen großen Teil ihrer derzeitigen Methodik ändern müssten, wenn sich $P = NP$ als wahr herausstellen würde. Warum wird dies also nicht angenommen? Es ist zwar unwahrscheinlich, dass es in absehbarer Zeit so oder so bewiesen wird, aber es scheint etwas seltsam, sich so stark auf diese Vermutung zu verlassen. Es scheint fast von größter Bedeutung zu sein, anzunehmen, dass die Vermutung von Goldbach ungültig ist, da es auch keinen Beweis dafür gibt.

Als Faustregel wird für jedes ungelöste Problem die Aussage vermutet, die mit einem universellen Quantifikator beginnt - denn wenn sie mit einem existenziellen begann, würde man erwarten, eine Lösung zu finden. Abgesehen davon wurde dieses Thema an mehreren anderen Stellen diskutiert, siehe https://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem#Reasons_to_believe_P_.E2.89.A0_NP oder https://rjlipton.wordpress.com/conventional-wisdom -und-pnp / .

Update: Oder das jüngste Kapitel 3 hier: http://www.scottaaronson.com/papers/pnp.pdf

Forscher arbeiten unter den Annahmen, die sie für plausibler halten. Im Fall der Komplexitätstheorie denken fast alle Experten, dass , und arbeiten unter dieser Annahme. Daher haben wir mit der Annahme P ≠ N P mehr bedingte Ergebnisse als mit P = N $P \neq NP$$P \neq NP$$P = NP$ .

Es hilft auch, dass im Fall von Problemen einfachere Antworten vorliegen (z. B. impliziert dies, dass P = B P P usw.), wenn im Fall von P ≠ N P mehr Möglichkeiten bestehen . Das heißt aber nicht, dass wir mit P = N P keine bedingten Ergebnisse haben . Wenn Sie einen Blick darauf werfen möchten, wie die Dinge in diesem Fall aussehen würden, überprüfen Sie, wie Russell Impagliazzo die Algorithmika in seinen fünf Welten nennt.$P = NP$$P = BPP$$P \neq NP$$P = NP$

Schauen Sie sich auch den Status von Impagliazzos Welten an.

Russel hielt 2009 beim IAS - Workshop einen Vortrag über seine Welten ( Video ).

Als Faustregel wird für jedes ungelöste Problem die Aussage vermutet, die mit einem universellen Quantifikator beginnt - denn wenn sie mit einem existenziellen begann, würde man erwarten, dass eine Lösung gefunden wird.

Es gibt einen versteckten Unterschied zwischen Vermutungen, die einem Satz von wie der Riemann-Hypothese entsprechen, und Vermutungen, die einem Satz von Π 0 2 wie P ≠ N P entsprechen . Wir kennen bereits einige Algorithmen (dh universelle Suchalgorithmen wie die Levin-Suche oder die Hutter-Suche), die für den Fall P = N P eine Polynom-Zeit wären (nun, die Levin-Suche funktioniert nur für syntaktische Unterklassen von F ( N P ∩ c o N P) )$\Pi_1^0$$\Pi_2^0$$P \neq NP$$P = NP$$F(NP\cap coNP)$ = TFNP wiePPA- oder Integer-Faktorisierung und Hutter-Suche . .. ), aber das lässt die Vermutung immer noch nicht zu .$P \neq NP$

Ich habe unzählige Artikel darüber gelesen, wie viele Informatik- und CS-angrenzende Gebiete einen großen Teil ihrer derzeitigen Methodik ändern müssten, wenn sich P = NP als wahr herausstellen würde. Warum wird dies also nicht angenommen?

Sie meinen wahrscheinlich, dass wir eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null für annehmen sollten, indem wir beispielsweise annehmen, dass P = N P mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01% und P ≠ N P mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,99%. Viele Informatiker werden behaupten, dass dies mehr oder weniger das ist, was sie tun, aber sie sehen nicht, wie diese Annahme das, was sie in ihren Arbeiten schreiben, in irgendeiner Weise substanziell verändern sollte.$P=NP$$P=NP$$P \neq NP$

Was sie anders machen könnten, wäre, das Verhältnis zwischen den Laufzeiten, die durch die Reduzierung zwischen den Problemen erreicht werden, genauer anzugeben. Aber wie viel expliziter? Sollten sie versuchen, weniger mit und mehr mit f ( n ) ∼ g ( n ) zu arbeiten ( lim n → ∞ f ( n $f(n)=O(g(n))$$f(n)\sim g(n)$) undf(n)≤g(n)(lim supn→≤f(n$\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1$$f(n)\lesssim g(n)$) zur Angabe von Ressourcenschätzungen in Theoremen? Die Frage ist nur, ob dies realistisch möglich ist, da selbst grundlegende Werkzeuge wie derHauptsatzin Form vonf(n)=O(g(n))formuliert sindund es unklar ist, wie kompliziert sie in Form vonf(n)≲g(n)(oder ob eine solche Formulierung überhaupt nützlich wäre).$\limsup_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}\leq 1$$f(n)=O(g(n))$$f(n)\lesssim g(n)$