Gültigkeit der Exponentiation in einer Polynomzeitverkürzung

Ich habe diese Frage vor 10 Tagen bei cs.stackexchange hier gestellt, aber ich hatte keine Antwort.

In einem sehr bekannten Artikel (in der Netzwerkgemeinschaft) präsentieren Wang & Crowcroft einige -Vollständigkeitsergebnisse der Pfadberechnung unter verschiedenen additiven / multiplikativen Bedingungen. Das erste Problem ist das folgende: $\mathsf{NP}$

Bei einem gerichteten Graphen und zwei Gewichts Metriken und über die Kanten definieren, für einen Pfad , ( ). Bei zwei Knoten und besteht das Problem darin, einen Pfad von nach st , wobei die positive Zahlen erhalten (Beispiel: Verzögerungsbeschränkung und Kosten in einem Netzwerk). $G=(V,A)$ $w_1$ $w_2$ $P$ $w_i(P)=\sum_{a\in P}w_i(a)$ $i=1,2$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $w_i(P)\leq W_i$ $W_i$

Die Autoren beweisen, dass dieses Problem -vollständig ist, indem sie eine Polynomreduktion aus PARTITION bereitstellen. $\mathsf{NP}$

Dann stellen sie das gleiche Problem dar, außer dass die Metriken multiplikativ sind, dh . Um zu beweisen, dass die multiplikative Version -vollständig ist, liefern sie eine "Polynom" -Reduktion gegenüber der additiven Version, indem sie und . $w'_i(P)=\prod_{a\in P}w'_i(a)$ $\mathsf{NP}$ $w'_i(a)=e^{w_i(a)}$ $W'_i=e^{W_i}$

Ich bin sehr verwundert über diese Reduzierung. Da und Teil der Eingabe sind (in Binärform, nehme ich an), ist und sind nicht polynomisch in und . Die Reduktion ist also kein Polynom. $W'_i$ $w'_i(a)$ $|w'_i(a)|$ $|W'_i|$ $|w_i(a)|$ $|W_i|$

Fehlt mir etwas Triviales oder ist der Beweis fehlerhaft? Mein Zweifel ist über die Gültigkeit des Beweises, auch wenn das Ergebnis eindeutig wahr ist.

Referenz: Zheng Wang, Jon Crowcroft. Quality-of-Service-Routing zur Unterstützung von Multimedia-Anwendungen . IEEE Journal on Selected Areas in Communications 14 (7): 1228-1234 (1996).

np-hardness reductions

— Lamine
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Ich habe das Papier überprüft, das ist sicherlich ein Fehler in ihrem Beweis.

— Domotorp

Die Arbeit wurde mehr als 2000 Mal zitiert. Dies ist beängstigend ...

— Lamine

Nun, wahrscheinlich verwenden die meisten Zitate dieses spezielle Ergebnis nicht, und schließlich ist es immer noch wahr. Mir wurden Beispiele genannt, als sie mehrere Papiere zurückziehen mussten, wobei auf ein falsches Ergebnis zurückgegriffen wurde. Außerdem ist dieser Exponentiationstrick so üblich, dass wahrscheinlich die meisten Leute nicht einmal darüber nachdenken und erkennen, was Sie getan haben, dass sich die Länge der Eingabe ändert.

— Domotorp

Der in der Arbeit dargestellte Beweis ist nicht schlüssig.

Das angegebene Ergebnis selbst ist jedoch korrekt. Sie kann leicht abgeleitet werden, indem die Reduzierung leicht geändert wird und SUBSET PRODUCT anstelle von SUBSET SUM verwendet wird.

Ein nützlicher Link für das SUBSET PRODUCT-Problem:
/cs/7907/is-the-subset-product-problem-np-complete

— Gamow
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