Wo kann man mehr über theoretische Informatik erfahren?

Ich bin ein Doktorand in Mathematik, und theoretische Informatik ist ein Bereich, von dem ich nie verstanden habe, worum es geht, weil ich keine gute Lektüre zu diesem Thema finden konnte. Ich möchte wissen, worum es in dieser Domain eigentlich geht, um welche Themen es sich handelt, welche Voraussetzungen erforderlich sind, um sich darauf einzulassen usw. Im Moment möchte ich nur wissen:

Was ist ein gutes Einführungsbuch in die theoretische Informatik?

Vorausgesetzt, es gibt so etwas. Wenn nicht, wo soll ein Mathematiker mit Grundkenntnissen der Informatik (dh er kennt die Grundlagen einer oder zweier Programmiersprachen) anfangen, wenn er verstehen will, worum es in der theoretischen Informatik geht? Was empfehlen Sie?

Vielen Dank!

Erstens bedeutet "theoretische Informatik" für verschiedene Menschen verschiedene Dinge. Ich denke, für die meisten Benutzer auf dieser Site ist eine historische Karikatur (die einige moderne soziologische Tendenzen widerspiegelt), dass es "Theorie A" und "Theorie B" gibt (ohne implizite Ordnungsbeziehung zwischen ihnen): Theorie A besteht aus der Theorie von Algorithmen, Komplexitätstheorie, Kryptographie und ähnliches. Theorie B besteht aus Dingen wie der Theorie der Programmiersprachen, der Theorie der Automaten usw. Abhängig von Ihrem Geschmack in der Mathematik können Sie eines dem anderen vorziehen (oder beides gleichermaßen mögen). "Theorie A" ist mir vertrauter, daher möchte ich hier einige Hinweise geben:

• Beginnen Sie mit Sipsers Buch. Auf diese Weise erhalten Sie eine gute Einführung in Automaten, Turing-Maschinen, Berechenbarkeit, Kolmogorov-Komplexität, P vs NP und einige andere Komplexitätsklassen. Es ist sehr gut geschrieben (meiner Meinung nach ist es eines der am besten geschriebenen Fachbücher aller Zeiten )

• Für Algorithmen habe ich eine leichte Vorliebe für Kleinberg-Tardos, aber es gibt viele gute Einführungsbücher. Vielleicht interessieren Sie sich besonders für Computergeometrie, für die es eine Reihe großartiger Bücher gibt.

• Da Sie ein Mathematik-Doktorand sind, fehlt in diesen Büchern vor allem die algebraische Komplexitätstheorie, die häufig in engem Zusammenhang mit Algebra (sowohl kommutativ als auch nicht kommutativ), Darstellungstheorie, Gruppentheorie und algebraischer Geometrie steht . Es gibt hier einen kanonischen Text, nämlich Burgisser-Clausen-Shokrollahi. Es ist etwas enzyklopädisch, so ist vielleicht nicht die beste Einführung sein, aber ich bin nicht sicher , es ist ein wirklich Einführungsbuch in diesem Bereich. Sie können sich auch die Umfragen von Chen-Kayal-Wigderson und Shiplka-Yehudayoff ansehen.

Danach schlage ich vor, je nach Ihrem mathematischen Geschmack in weiterführenden Büchern zu bestimmten Themen zu stöbern:

• Arora-Barak ist eine modernere Komplexitätstheorie (setzt fort, wo Sipsers Buch sozusagen endet), die Ihnen einen Einblick in die beteiligten Techniken gibt (hauptsächlich eine Mischung aus Kombinatorik und Algebra).

• Das Buch von Jukna über die Komplexität von Booleschen Funktionen ist ähnlich, aber ausführlicher, insbesondere für die Komplexität von Booleschen Schaltkreisen (sehr kombinatorisch im Geschmack).

• Geometrische Komplexitätstheorie. Siehe hier oder Landsbergs Einführung für Geometer .

• O'Donnells Buch Analysis of Boolean Functions ist stärker fourieranalytisch ausgerichtet.

• Kryptographie. Die fortgeschritteneren mathematischen Aspekte sind hier typischerweise die Zahlentheorie und die algebraische Geometrie. Während diese rein mathematischen Aspekte nur einen kleinen Teil der Kryptographie ausmachen, sind sie ein wichtiger Aspekt, den Sie vielleicht interessant finden. Da ich nicht in meiner Nähe bin, bin ich mir nicht sicher, was für ein gutes Startbuch hier ist.

• Codierungstheorie. Hier reicht die mathematische Theorie von der Kugelpackung (siehe das Buch von Conway und Sloane) bis zur algebraischen Geometrie (zB das Buch von Stichtenoth). Auch hier nicht meine Gegend, daher bin ich mir nicht sicher, ob dies die besten Ausgangspunkte sind, aber wenn Sie sie durchblättern, erhalten Sie schnell den Geschmack und entscheiden, ob Sie tiefer eintauchen möchten.

Und dann gibt es viele andere mathematische Themen, die nur in der Forschungsliteratur auftauchen, wie Verbindungen mit Schäumen, Graphentheorie, C * -Algebren (lassen Sie mich nur auf die Kadison-Singer-Vermutung verweisen ), Invariantentheorie, Darstellungstheorie, Quadraturen, und weiter und weiter. Siehe auch diese verwandten Fragen

• Ressourcen für Mathematiker, die mehr Informatik lernen möchten
• Gibt es in theoretischen Fächern Themen, die sich mehr mit reiner Mathematik befassen?
• Anwendungen von TCS in der klassischen Mathematik?
• Feste Anwendungen der Kategorietheorie in TCS?

Die Natur der Berechnung von Cristopher Moore und Stephan Mertens.