Kollabiert unter der Annahme, dass

Es ist bekannt , dass , wenn $NP\subseteq P/Poly$ dann das Polynom Hierarchie kollabiert zu $\Sigma_2^{P}$ und $MA = AM$ .

Was sind die stärksten bekannten Zusammenbrüche, wenn $NEXP\subseteq P/Poly$ ?

Ich glaube , die stärkste ist , dass N E X P = M A . Dies wurde von Impagliazzo Kabanets und Wigderson bewiesen.$NEXP = MA$

Siehe https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=de&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

Es würde mich auch interessieren, wenn es zu stärkeren Zusammenbrüchen kommen würde.

Edit (8/24): OK, ich dachte an einen möglicherweise stärkeren Zusammenbruch, der im Wesentlichen aus den Beweisen des oben verlinkten Papiers resultiert. Da N E X P ⊂ P / p o l y impliziert N E X P = E X P (siehe den obigen Link) und E X P wird unter Ergänzung geschlossen, haben wir auch N E X P unter Komplement geschlossen und somit N E X P = M A ∩ c o M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$, was etwas stärker ist. Tatsächlich impliziert die Hypothese, dass für jede N E X P- Sprache eine einzige Zeugenzeichenfolge w n in dem entsprechenden MA-Protokoll für alle JA-Instanzen einer gegebenen Länge n verwendet werden kann , so dass auch N E X P = O M A ∩ c o O M A (wobei O M A = "Oblivious MA", siehe Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$). Obwohl diese zusätzlichen Eigenschaften technisch sind, können sie sich in einigen Argumenten der unteren Schaltkreisgrenze als nützlich erweisen.

Edit 2: Sieht so aus, als hätte Andrew Morgan dies bereits hervorgehoben. Hoppla :)

Es passieren eine Menge lustiger Dinge. Die meisten, die ich kenne, beginnen mit dem IKW-Papier . Dort wird der Zusammenbruch $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ gezeigt und (glaube ich) ist der stärkste wörtliche Zusammenbruch von Komplexitätsklassen, die wir kennen. Es gibt andere Arten von "Zusammenbrüchen", auf die ich jedoch hingewiesen werden sollte.

Am wichtigsten, denke ich, ist die Eigenschaft "allgemeiner prägnanter Zeuge" (auch aus dem IKW-Papier). Zum einen erhalten Sie ein Tool, mit dem viele der anderen Zusammenbrüche direkte Konsequenzen haben. Zum anderen nutzen die jüngsten Schaltungsuntergrenzen (z. B. hier und hier ) für $\textsf{NEXP}$ diese Verbindung. Kurz gesagt, die Eigenschaft besagt, dass für jede $\textsf{NEXP}$ Sprache $L$ und jede $\textsf{NEXP}$ Maschine $M$ , die $L$ entscheidet , jedes $x \in L$ einen genau beschreibbaren Zeugen nach $M$ . Formal gibt es ein Polynom $p$ abhängig von$M$ so dass es für jedes$x \in L$ eine Schaltung$C_x$ der Größe$p(|x|)$ so dass die Wahrheitstabelle von$C_x$ eine Folge von nicht deterministischen Auswahlen für$M$ , die zur Akzeptanz bei Eingabe$x$ .

Die Prägnanz der Zeugen erweist sich als nützlich, da Sie viele andere Zusammenbrüche auf einfache Weise wiederherstellen können. Zum Beispiel folgt trivialerweise, dass $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ . Zum Beispiel suppose $L$ ist in $\textsf{NEXP}$ über eine $\textsf{NEXP}$ -Maschine $M$ . Die Eigenschaft prägnante Zeugen besagt, dass es ein Polynom $p$ sodass $M$ prägnante Zeugen der Größe $p$ . Wir können dann $L$ in $\textsf{EXP}$ bestimmen, indem wir am Eingang $x$ alle Kreise mit einer Größe von höchstens $p(|x|)$ und prüfen, ob sie eine Folge von Auswahlmöglichkeiten codieren, die dazu führen, dass$M$ bei Eingabe$x$ akzeptiert. Sie können dies mit dem (bisher über interaktive Proofs bekannten) Ergebnis kombinieren, dass$\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ zum Abschluss$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$ .

Hervorzuheben ist, dass wir $M$ und damit die Form der Zeugen auswählen dürfen . Sie können beispielsweise tatsächlich aus " $\textsf{NEXP}$ hat universelle prägnante Zeugen" schließen, dass $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$ . Hier ist $\textsf{OMA}$ "oblivious-MA", was bedeutet, dass es einen ehrlichen Merlin gibt, der nur von der Eingabelänge abhängt. Es ist leicht zu erkennen, dass $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ ist. Im Grunde genommen gibt dies nur eine normale Form für die Berechnung von $\textsf{NEXP}$ Sprachen in $\textsf{P}/\textrm{poly}$ unter der Annahme, dass $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ in the first place. Here's one way to see the collapse to $\textsf{OMA}$:

Konstruieren Sie für eine von einer Maschine M bestimmte Sprache $L \in \mathsf{NEXP}$ eine N E X P- Maschine M ' wie folgt. Zeigen Sie die n- Bit-Eingabe als Zahl N zwischen 1 und 2 n an . Errate für jedes x der Länge n einen Zeugen w x und führe M ( x , w x ) aus , um es zu verifizieren. M ' ( N )$M$$\mathsf{NEXP}$$M'$$n$$N$$1$$2^n$$x$$n$$w_x$$M(x,w_x)$$M'(N)$akzeptiert genau dann, wenn $M$ für mindestens $N$ Werte von $x$ akzeptiert . Die Vermutungen sind so angeordnet, dass eine knappe Beschreibung eines Zeugen für $M'$ eine Schaltung $C$ , die die Abbildung $(x,i) \mapsto$ das $i$te Bit von $w_x$ berechnet . Nehmen wir nun an, dass $N$ genau die Anzahl der Zeichenfolgen in $L$ bei Länge $n$ . Dann prägnante Zeugen für $M'$ auf Eingangs $N$ sind Schaltungen , die gleichzeitig kodieren alle von$M$'s witnesses for length-$n$ inputs. In particular, if $M'$ has succinct witnesses, then all of $M$'s witnesses can be simultaneously described by the same circuit.

To complete the claim, we'll recall that $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$. Letting $M$ be the machine which guesses the PCP and then deterministically simulates the verifier, the above paragraph tells us the existence of simultaneously succinctly describable PCPs for every language in $\textsf{NEXP}$. So now to get $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$, we have Merlin send the succinct description of the PCPs for all inputs of the current input length, which Arthur can check by just plugging in his input and then running the PCP verifier.

[Thanks to Cody Murray for pointing out the trick of using the input to count the number of strings in $L$. Previously I had $M'$ use that if $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ then $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ to write down the truth table of $L$, but Cody's strategy is more elegant.]

As a final note, while technically implied by $\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$, the collapse $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ has another interesting implication. It's known that $\textsf{PSPACE}$ has a complete language which is both downward self-reducible as well as random self-reducible. Ordinarily, all such languages sit inside $\textsf{PSPACE}$ and so we shouldn't hope to say (unconditionally) that $\textsf{NEXP}$ has such a complete language as long as we hope that $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$. However, if $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$, then $\textsf{NEXP}$ does have such complete languages. A similar statement (replacing $\textsf{NEXP}$ by $\textsf{EXP}$) was used by Impagliazzo and Wigderson to conclude a sort of "derandomization dichotomy" for $\textsf{BPP}$ in relation to $\textsf{EXP}$, so it may be useful in discovering other consequences of $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$.