P / Poly vs Uniform Complexity Classes

Es ist nicht bekannt, ob NEXP in P / Poly enthalten ist. In der Tat hätte der Nachweis, dass NEXP nicht in P / Poly vorliegt, einige Anwendungen bei der Derandomisierung.

Was ist die kleinste einheitliche Klasse C, für die man nachweisen kann, dass C nicht in P / Poly enthalten ist?
Würde der Nachweis, dass Co-NEXP nicht in P / Poly enthalten ist, andere komplexitätstheoretische Konsequenzen haben als im Fall von NEXP gegenüber P / Poly?

Hinweis: Mir ist bekannt, dass $SP_2$ bekanntermaßen nicht für jede feste Konstante in (dies wurde auch für MA mit 1 Hinweis gezeigt). Aber in dieser Frage interessieren mich keine Ergebnisse für festes . Ich interessiere mich sehr für Klassen, die sich von P / Poly unterscheiden, auch wenn diese Klassen sehr groß sind. $Size[n^k]$ $k$ $k$

complexity

— Springberg
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Sie fragen im Wesentlichen nach einem Problem mit den Untergrenzen der Superpolynomgröße für allgemeine Schaltungen.

— Kaveh

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ ist bekannt, dass

nicht in

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ . Einen kurzen Beweis findenSie imWikipedia-Artikel.

— Robin Kothari

P / Poly ist unter Komplement geschlossen, enthält also genau dann NEXP, wenn es coNEXP enthält.

— Emil Jeřábek

Emil, Robin und Andrew, danke für deine Antworten. Ich denke, meine Frage kann jetzt als beantwortet betrachtet werden. Würde jemand es in einer Antwort schreiben, damit ich es akzeptieren kann?

— Springberg

Ich glaube, dass

M A_{e x p}

$MA_{exp}$ die kleinste einheitliche Klasse mit bekannten Superpolynom-Untergrenzen ist ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ) und dass

O_{2}^{P}

$O^P_2$ die kleinste mit willkürlichen Polynom-Untergrenzen ist Grenzen ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ).

— Alex Golovnev

$\let\mr\mathrm$ In der Literatur gibt es mehrere Ergebnisse, die besagen, dass eine bestimmte Klasse für jedes erfüllt , und normalerweise ist es einfach, sie aufzufüllen, um zu zeigen, dass eine kaum superpolynomiell erweiterte Version von nicht in . $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

Lassen Sie mich sagen, dass eine Superpolynomgrenze ist, wenn sie zeitlich konstruierbar ist, und . Zum Beispiel ist eine Superpolynomgrenze. Tatsächlich zeigt eine lehrreiche Übung, dass, wenn eine unbegrenzte monotone berechenbare Funktion ist, es eine Superpolynomgrenze so dass $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ . $f(n)\le n^{g(n)}$

Erstens zeigt die direkte Diagonalisierung, dass für jedes . Das gleiche Argument gibt: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Wenn eine Superpolynomgrenze ist, dann ist . $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Beweisskizze: Für jedes sei die lexikographisch erste Schaltung der Größe , die eine Boolesche Funktion in Variablen berechnet, die nicht durch eine Schaltung der Größe berechnet werden kann. $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ . Dann ist die Sprache definiert durch $L$ funktioniert. $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

Eine bekannte Verbesserung besagt, dass $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ für jedes . Gleichfalls, $k$

Wenn eine Superpolynomgrenze ist, dann ist $f$ . $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Proof Skizze: Wenn nicht, dann insbesondere , also . Durch ein Füllargument ist $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$ , quod non.

Oblivious Klassen machen es noch besser. Unter Berücksichtigung des von Apoorva Bhagwat erhobenen Einwandes sei . Dann ist für jedes , und dasselbe Argument ergibt: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Wenn eine Superpolynomgrenze ist, dann ist $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$ .

Proof sketch: If $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ , then by padding, $\mr{NP\subseteq P/poly}$ , which implies $\mr{PH}=O_2\mr P$ . Then we proceed as before.

Es gibt auch Ergebnisse mit MA. Das oft erwähnte Ergebnis, dass ein Overkill ist. Santhanam bewies, dass für jedes $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$ und ein ähnliches Argument ergibt:

Wenn eine Superpolynomgrenze ist, dann ist $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
Beweisskizze: Nach Santhanams Lemma 11 (eine geschärfte Version der Standardtatsache, dass mit einem PSPACE-Prüfer ist) gibt es eine PSPACE-vollständige Sprache und ein randomisiertes Polyzeit-Orakel TM so dass am Eingang , nur Orakelfragen der Länge fragt ;; wenn , dann akzeptiert mit Wahrscheinlichkeit ; und wenn , dann für jedes Orakel $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ , . $A$ akzeptiert mit einer Wahrscheinlichkeit von $M^A(x)$ $\le1/2$

Für ein geeignetes monotones Polynom sei das durch definierte Versprechen $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$ Seieine Polynomreduktion vonzu seinem Komplement und sei
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S.} & ⟺ \exists Schaltkreis C. (p (| C. | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [{M.}^{C.} (x) akzeptiert]] = 1), \\ (x, s) \in {EIN}_{N. Ö} & ⟺ \forall Schaltkreis C. (p (| C. | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [{M.}^{C.} (x) akzeptiert]] \leq 1 /. 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ das Versprechensproblem Wenngeeignet groß gewählt wird, ist $\begin{aligned} (x, s) \in {B.}_{Y. E. S.} & ⟺ (x, s) \in {EIN}_{Y. E. S.} \land (h (x), s) \in {EIN}_{N. Ö}, \\ (x, s) \in {B.}_{N. Ö} & ⟺ (x, s) \in {EIN}_{N. Ö} \land (h (x), s) \in {EIN}_{Y. E. S.} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ $p(n)$ Nehmen wir also im Widerspruch an, dass Schaltungen mit Polynomgröße hat, beispielsweise . Es sei die Größe der kleinsten Schaltung, die an Eingängen der Länge berechnet, und setze $B \in p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ ; genauer gesagt ist Dann ist eine Reduktion von zu , also $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : p (s (n)) \leq f (m)}} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ , was Da jedoch ein Superpolynom ist, haben wir . Dies ergibt einen Widerspruch für ausreichend groß. $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

Wenn wir ein Ergebnis mit einer nicht versprochenen Version von MA bevorzugen, haben Miltersen, Vinodchandran und Watanabe bewiesen, dass für eine Halb exponentielle Funktion . Wir können es auf zwei Arten verbessern: Erstens gilt es für

M. EIN - - T. ich M. E. (f (n)) \cap c Ö M. EIN - - T. ich M. E. (f (n)) ⊈ P. /. p Ö l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

Exponentialgrenzen für jede Konstante

, und zweitens gilt sie für vergessene Klassen. Hier eine

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

Exponentialfunktion ist grob gesagt eine Funktion

so dass

. Die genaue Definition finden Sie im Papier Miltersen-Vinodchandran-Watanabe und in den darin enthaltenen Referenzen. es handelt sich um eine gut erzogene Familie von gut erzogenen Funktionen

, so dass

und

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

. Auch, wenn

und

, dann

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

. Dann haben wir:

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

für jedes . $\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ $\alpha>0$

$k$ $1/k<\alpha$
$O c O M T (f) = O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) \cap c o O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O c O M T (e_{β + 1 / k}) \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & P S P A C E \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) ⟹ P S P A C E \subseteq O c O M T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ Since trivially $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ , a repeated application of (1) and (2) shows $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ , $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ , $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ , and so on. After $k$ steps, we reach $P S P A C E \subseteq P / p o l y and P S P A C E = O M A \cap c o O M A .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ Using padding once more, we get $D S P A C E (e_{1 / k}) \subseteq O c O M T (e_{1 / k}) \subseteq P / p o l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ which contradicts the results above, as $e_{1/k}$ is a superpolynomial bound.

— Emil Jeřábek
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Since nobody posted an answer, I will answer the question myself with the comments posted in the original question. Thanks to Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan and Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ seems to be the smallest uniform class with known superpolynomial lower bounds.

$O_2^P$ seems to be the smallest known class not having circuits of size $n^k$ for each fixed $k$ .

By diagonalization, it follows that for any super-polynomial (and space-constructible) function $s$ , $DSPACE[s(n)]$ doesn't have polynomial-size circuits. $PSPACE$ versus $P/poly$ is still open.

$P/poly$ is closed under complement, so it contains $NEXP$ if and only if it contains $coNEXP$ .

— Springberg
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Please correct me if I'm wrong, but as far as I can tell, we actually don't know a fixed-polynomial size lower bound for $O_2^P$ . This is because the usual Karp-Lipton argument doesn't go through for $O_2^P$ , since we don't know whether $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ (in fact, this is equivalent to asking whether $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ ). However, we do know that $\textsf{NP}^{O_2^P}$ isn't contained in $\textsf{SIZE}(n^k)$ for any $k$ , as shown by Chakaravarthy and Roy.

— Apoorva Bhagwat
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