Ich habe zu
verschiedenen Zeiten über die folgende Frage nachgedacht,
seit ich diese Frage zur Kryptographie gesehen habe .
Frage
Sei eine TFNP- Beziehung. Kann ein zufälliges Orakel P / Poly helfen
, R mit nicht zu vernachlässigender Wahrscheinlichkeit zu brechen ? Formaler,
Tut
für alle P / poly Algorithmen , Pr x [ R ( x , A ( x ) ) ] ist vernachlässigbar
implizieren das unbedingt
für fast alle o racles , für alle P / poly Oracle-Algorithmen A , Pr x [ R ( x , A O ( x ) ) ] ist vernachlässigbar
?
Alternative Formulierung
Die relevante Menge von Orakeln ist (also messbar). Wenn Sie also kontrapositiv sind und Kolmogorovs Null-Eins-Gesetz anwenden , entspricht die folgende Formulierung der ursprünglichen.
Tut
für fast alle o racles , es existiert ein P / poly Oracle-Algorithmus A , so daß Pr x [ R ( x , A O ( x ) ) ] ist nicht vernachlässigbar
implizieren das unbedingt
Es gibt einen P / Poly-Algorithmus so dass Pr x [ R ( x , A ( x ) ) ] nicht vernachlässigbar ist
?
Der einheitliche Fall
Hier ist ein Beweis für die einheitliche Version :
Es gibt nur countably-many PPT Oracle-Algorithmen, so durch zählbare Additivität der null [ideal] [8], ein PPT - Algorithmus ist , so dass für einen nicht - Null - Satz von Orakeln O ,
Pr x [ R ( x , A O ( x ) ) ] ist nicht zu vernachlässigen. Sei B ein solcher Orakel-Algorithmus.
In ähnlicher Weise lassen eine positive ganze Zahl sein , so dass für einen nicht-Null - Satz von Orakeln O ,
Pr x [ R ( x , B O ( x ) ) ]
ist unendlich oft mindestens n - c , wobei n die Länge die Eingabe.
Durch die contra von Borel-Cantelli ,
& Sigma; ∞ n = 0 Pr O [ n - c ≤ Pr x ∈ { 0 , 1
ist unendlich.
Durch den Vergleichstest ist unendlich oft .
Sei der PPT-Algorithmus, der [das Orakel simuliert] [12] und B mit diesem simulierten Orakel ausführt.
Fixiere und sei G o o d die Menge der Orakel O, so dass n - c ≤ Pr x ∈ { 0 , 1 } n [ R ( x , B O ( x ) ) ] .
Wenn nicht null ist, dann ist Pr O [ O ∈ G o o d ] ⋅ n - c = Pr O [ O ∈ G o o d ] ⋅ E O [ n - c ] ≤ Pr O [ O ∈ G o o d ] ⋅ E O [ Pr x ∈ { 0 .
Da unendlich oft ist, ist Pr x [ R ( x , S ( x ) ) ] nicht vernachlässigbar.
Daher gilt die einheitliche Version . Der Beweis nutzt kritisch die Tatsache, dass es
nur zählbar viele PPT- Orakel-Algorithmen gibt. Diese Idee funktioniert im
ungleichmäßigen Fall nicht, da es kontinuierlich viele P / Poly-Orakel-Algorithmen gibt.