Erwarteter minimaler Einfluss einer zufälligen Booleschen Funktion

$f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

Bei gegebenem Parameter wählen wir eine Zufallsfunktion aus, indem wir ihren Wert an jedem der Eingänge unabhängig voneinander zufällig mit der Wahrscheinlichkeit auf und mit der Wahrscheinlichkeit . Dann ist es leicht zu sehen, dass für jedes und a fortiori $p\in[0,1]$ $p$ $f$ $2^n$ $1$ $p$ $-1$ $1-p$ $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

Meine Frage ist:

Gibt es einen asymptotisch (in Bezug auf ) engen Ausdruck für ? Können wir auch für einen solchen Ausdruck bekommen? $n$ $I_n(p)$ $p=\frac{1}{2}$

Insbesondere interessieren mich die Terme niedriger Ordnung, dh ich wäre an einem asymptotischen Äquivalent für die Größe . $2p(1-p)-I_n(p)$

(Die nächste Frage, die aber der ersten untergeordnet ist, ist, ob man auch gute Konzentrationsgrenzen um diese Erwartung bekommen kann.)

Durch die Chernoff-Schranken kann man auch zeigen, dass jeder eine gute Konzentration hat, so dass wir durch eine gewerkschaftliche Schranke (wenn ich es nicht zu sehr vermasselt habe) aber das ist höchstwahrscheinlich lose an der unteren Grenze (aufgrund der Vereinigungsgrenze) und definitiv an der oberen Grenze. (Ich bin insbesondere auf der Suche nach einer Obergrenze, die strikt unter der trivialen ) $\operatorname{Inf}_i[f]$

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Beachten Sie, dass eines der Probleme dabei ist, dass diese Zufallsvariablen nicht unabhängig sind , außer dass sie das Minimum von identisch verteilten Zufallsvariablen (die Einflüsse) annehmen. Ich erwarte jedoch, dass ihre Korrelation mit "ziemlich schnell" zerfällt . $n$ $n$

(Für das, was es wert ist, habe ich explizit die ersten paar bis zu berechnet und Simulationen ausgeführt, um die folgenden zu schätzen, bis zu oder so. Ich bin mir nicht sicher, wie hilfreich dies ist könnte sein, aber ich kann das einschließen, sobald ich wieder in meinem Büro bin.) $I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— Clement C.
quelle

Hier sind die ersten paar (nur die ersten 4 sind genau, die anderen sind zufällige Stichproben (um die Einflüsse abzuschätzen) gemittelt über 10 ^ 5 zufällig generierte Funktionen): (Hinweis: Bei den Simulationen ist die 4. Ziffer nicht richtig signifikant)

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— Clement C.

Hier ist ein Schritt in die richtige Richtung ...

Ich werde das für argumentieren , Sie haben . $p=1/2$ $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(Dies ist nicht ganz so stark wie es sein sollte. Vielleicht kann jemand das Argument verstärken, um .) Hier ist eine Beweisskizze. $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

Es genügt . Wir machen das. $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

Beachten Sie, dass, wenn und vollständig unabhängig wären, wir fertig wären, weil die Erwartung des Minimums der beiden unabhängigen Summen . Zunächst werden wir sorgfältig argumentieren, dass die beiden Summen fast unabhängig sind. $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

Betrachten Sie das Universum der Punkte . Nenne und in -Nachbarn, wenn sie sich nur in der ten Koordinate unterscheiden. Sagen wir, die beiden Nachbarn tragen (zu ) bei, wenn . ( ist also die Anzahl der beitragenden Nachbarn, dividiert durch $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ $2^{n-1}$ Anm.) , Dass, wenn und sind -neighbors, und und ist -neighbors, dann entweder oder . Daher ist die Anzahl der beitragenden Nachbarn die Summe von $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ $2^{n-1}$ unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils mit dem Erwartungswert . $1/2$

Unterteilen Sie das Universum in Gruppen der Größe vier, wobei und in derselben Gruppe sind, wenn und Ausnahme ihrer ersten beiden Koordinaten übereinstimmen. Dann für jedes Paar 1-Nachbarn, und jedes Paar von 2-Nachbarn, und ist in der gleichen Gruppe. Für eine gegebene Gruppe ist und $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ , sei rv die Anzahl der beitragenden Nachbarn in . Dann beträgt die Anzahl der beitragenden 1-Nachbarn insgesamt , eine Summe von unabhängigen Zufallsvariablen, jeweils in . $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

Man beachte, dass und unabhängig sind, wenn . Durch einen Fallanalyse, wenn , die gemeinsame Verteilung von und ist , $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

Sei rv die Menge der neutralen Gruppen. (Sie tragen genau ihren erwarteten Betrag zum 1-Einfluss und zum 2-Einfluss bei.) Die Anzahl der beitragenden 1-Nachbarn beträgt dann $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

$N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

$\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— Neal Young
quelle

n

$n$