Präzise Definition von syntatischen Kategorien / syntatischen Domänen in abstrakter Syntax

Ich habe die einleitenden Teile einiger Bücher über Semantik der Programmiersprache gelesen (Gordon, Winskel, Nielson und Nielson, Allison, Stump, Schmidt), und obwohl ich verstehe, was sie unter syntaktischen Kategorien oder syntaktischen Domänen verstehen , habe ich es nicht getan. Ich finde keine strenge und einfache Definition dieser. Gibt es eine Standarddefinition, vielleicht in früheren Arbeiten?

Die meisten Menschen vermeiden es, genau zu beschreiben, was eine syntaktische Kategorie ist, denn wenn Sie es mit allen Details richtig machen, ist das Verhältnis von Einsicht zu notwendiger mathematischer Raffinesse sehr, sehr gering. John Reynolds 'Buch Theories of Programming Languages enthält eine der umfassenderen Erklärungen in Kapitel 1, ebenso wie Robert Harpers Practical Foundations of Programming Languages .

Die Intuition, die Sie haben sollten, ist, dass eine syntaktische Kategorie die Menge von Bäumen ist, die durch eine kontextfreie Grammatik erzeugt werden. Wenn eine solche Definition für eine Gruppe von Bäumen gegeben ist, können Sie Funktionen in dieser Gruppe mithilfe der strukturellen Rekursion definieren und Eigenschaften über diese mithilfe der strukturellen Induktion nachweisen : dh indem Sie alle verschiedenen Arten der Baumkonstruktion analysieren.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine Sprache der arithmetischen Operationen, die durch die folgende Grammatik gegeben ist:

e ::= zero | succ(e)| add(e, e)

Dann können wir eine Interpretationsfunktion definieren, evaldie einen Begriff nimmt und Ihnen eine Ganzzahl gibt, anhand von Fällen, wie wir einen Begriff konstruieren können:

eval : Expr -> Int
eval zero     = 0
eval succ(e)  = 1 + eval e  
eval add(e, e') = eval e + eval e'*

Beachten Sie, dass wir diese Funktion vollständig definiert haben, indem wir eine Klausel für jede mögliche Art und Weise angeben, wie wir einen Ausdruck aus der Grammatik generieren könnten. Die Tatsache, dass dies eine vollständige Definition einer Funktion ist, wird als Prinzip der strukturellen Rekursion bezeichnet .

Wir können Eigenschaften dieser Funktion auch durch strukturelle Induktion nachweisen - indem wir für jeden Fall eine induktive Analyse durchführen. Zum Beispiel können wir für jeden beweisen e, eval e ≥ 0.

Proof. By structural induction on e.
- Case e = zero:
  By the definition of eval, eval zero = 0. 
  We know 0 ≥ 0 by reflexivity of ≥.    

- Case e = succ(e'):     
  By induction, we know that eval e' ≥ 0 
  So we also know that 1 + eval e' ≥ eval e'.
  By transitivity, 1 + eval e' ≥ 0. 
  But eval succ(e') = 1 + eval e'.
  So eval succ(e') ≥ 0.

- Case e = add(e', e'').
  By induction, we know that eval e' ≥ 0.
  By induction, we know that eval e'' ≥ 0.
  By properties of addition, we know that eval e' + eval e'' ≥ 0.
  By the definition of eval, eval add(e',e'') = eval e' + eval e''.
  So eval add(e',e'') ≥ 0.

Die Tatsache, dass nur die Fälle betrachtet werden, in denen Ausdrücke gebildet werden könnten, stellt einen Beweis dar, wird als Prinzip der strukturellen Induktion bezeichnet .

Nun ist es eine Tatsache, dass man Funktionen durch strukturelle Rekursion definieren und Eigenschaften durch strukturelle Induktion für jede Grammatik beweisen kann . Um dies konsequent zu beweisen, ist jedoch ein gewisses Maß an Kategorietheorie erforderlich. Sie müssen syntaktische Kategorien als Anfangsalgebren einer bestimmten Klasse von Funktoren formalisieren und dann beweisen, dass solche Anfangsalgebren für diese Klasse immer existieren.

Dies ist ein wirklich schweres Werkzeug, um solch ein "offensichtliches" Ergebnis zu beweisen. Ich empfehle daher, nur Ihrer Intuition zu vertrauen, wie strukturelle Definitionen funktionieren, und sich dann nur dann mit ihrer detaillierten Semantik zu beschäftigen, wenn Sie sich entscheiden, ein professioneller Logiker zu werden.

Ich habe auch nie eine explizite Definition gefunden, aber ich habe das Folgende abgeleitet.

Soweit ich weiß, teilen Sie die Sprache in syntaktische Domänen auf. mit dem Zusatz, dass syntaktische Domänen vollständig durch einzelne unterschiedliche Symbole generiert werden müssen, wenn Sie die Grammatik aufschreiben. Eine syntaktische Domäne ist also eine Teilmenge Ihrer Sprache, und jede Domäne wird durch ein einzelnes Symbol generiert.

(Ich habe nicht gesagt, dass Sie die Sprache partitionieren sollten , da dann ein Bezeichner " " beispielsweise nicht sowohl in "ganzzahligen Ausdrücken" als auch in "booleschen Ausdrücken" enthalten sein darf.)$x$

Beachten Sie, dass Sie bei Verwendung dieser Definition unterschiedliche syntaktische Kategorien haben können, wenn Sie die abstrakte Syntax einer Sprache definieren (dh die abstrat-Syntax ist möglicherweise nicht eindeutig). Ein einfaches Beispiel: Angenommen, Sie müssen die abstrakte Syntac für ganzzahlige und boolesche Ausdrücke angeben. Nennen Sie die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der booleschen Werte.B ={T,F${\mathbb Z}$${\mathbb B}=\{T,F\}$

Sie könnten sagen, alle Ihre Ausdrücke sind eine syntaktische Domäne.

• Exp enthält alle Ausdrücke und wird von einer semantischen Funktion auf abgebildet.${\mathbb Z} \cup {\mathbb B}$

oder Sie könnten beschließen, sie zu teilen:

• ExpBool enthält boolesche Ausdrücke, die von einer semantischen Funktion auf abgebildet werden.${\mathbb B}$
• ExpInt enthält ganzzahlige Ausdrücke, die von einer semantischen Funktion auf abgebildet werden.${\mathbb Z}$

Soweit ich weiß, handelt es sich bei den genauen zu verwendenden syntaktischen Domänen um ein Entwurfsproblem (ich meine eine Entscheidung, die Sie beim Entwerfen der abstrakten Syntax für Ihre Sprache treffen). Aber sie sind sicherlich Teilmengen Ihrer Sprache, und jede syntaktische Domäne muss durch ein anderes Symbol generiert werden.