Exponentielle Konzentrationsungleichung für Momente höherer Ordnung von Gaußschen Zufallsvariablen


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Let sein iid - Kopien von Gauß'schen Zufallsvariable . Es ist bekannt, dass Diese beiden Ergebnisse ergeben sich aus der Konzentrationsungleichheit von subgaußschen und subexponentiellen Zufallsvariablen, und die zweite ist eine Ungleichung vom Bernstein-Typ. Ich frage mich, ob es ähnliche Ergebnisse für die höheren Momente von Gaußschen Zufallsvariablen gibt. Kann man haben X1,,XnnXN(0,σ2)

P(|1nj=1nXj|>t)2exp(cnt2)  andP(|1nj=1n(Xj2EXj2)|>t)2exp(cnmin{t2,t}).
P(|1nj=1n(Xj4EXj4)|>t)2exp(cnt)?
Und allgemeiner können wir für eine zentrierte Zufallsvariable Y die P(|Y|>t)2exp(ctα) für \ alpha> 0 erfüllt α>0, erhalten eine exponentielle Ungleichung für die Konzentration von i=1nYi ? Das heißt, können wir
P(|1nj=1n(YjEYj)|>t)2exp(cntβ)
für einige β>0

Antworten:


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Siehe Satz 23 in Abschnitt 9.3 von Ryan O'Donnells Buch Analysis of Boolean functions . Obwohl der dortige Satz für Variablen angegeben ist, gilt er auch für Gaußsche (Einzelheiten dazu finden Sie in Kapitel 10 des Buches).±1

Für die allgemeinere Aussage siehe Übung 7 in diesen Vorlesungsunterlagen von Terry Tao .


Entschuldigung, die vorherige Aussage der Frage ist nicht korrekt. Jetzt habe ich einige Korrekturen vorgenommen. Und was können wir für allgemeinere Zufallsvariablen mit etwas abnehmendem Schwanzverhalten sagen?
Steve

Ihre allgemeinere Frage wird in den Vorlesungsskripten von Terry Tao behandelt.
Yuval Filmus
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