Exponentielle Konzentrationsungleichung für Momente höherer Ordnung von Gaußschen Zufallsvariablen

Let sein iid - Kopien von Gauß'schen Zufallsvariable . Es ist bekannt, dass Diese beiden Ergebnisse ergeben sich aus der Konzentrationsungleichheit von subgaußschen und subexponentiellen Zufallsvariablen, und die zweite ist eine Ungleichung vom Bernstein-Typ. Ich frage mich, ob es ähnliche Ergebnisse für die höheren Momente von Gaußschen Zufallsvariablen gibt. Kann man haben $X_1,\ldots, X_n$ $n$ $X \sim N(0, \sigma^2)$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} | > t) & \leq 2 \exp (c n t^{2}) and \\ P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{2} - E X_{j}^{2}) | > t) & \leq 2 \exp (c n min {t^{2}, t}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cnt^2)~~\text{and}\\ \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^2 - \mathbb{E}X_j^2) \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cn\min \{t^2, t\}). \end{align}$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{4} - E X_{j}^{4}) | > t) \leq 2 \exp (c n t) ? \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^4 - \mathbb{E}X_j^4) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt)? \end{align}$ Und allgemeiner können wir für eine zentrierte Zufallsvariable

Y

$Y$ die

P (| Y | > t) \leq 2 \exp (c t^{α})

$\mathbb{P}(|Y| > t) \leq 2 \exp(c t^{\alpha})$ für

erfüllt

α > 0

$\alpha > 0$ , erhalten eine exponentielle Ungleichung für die Konzentration von

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$\sum_{i=1}^n Y_i$ ? Das heißt, können wir

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - E Y_{j}) | > t) \leq 2 \exp (c n t^{β}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j - \mathbb{E}Y_j) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt^\beta) \end{align}$ für einige

β > 0

$\beta > 0$ ？

pr.probability st.statistics

— Steve
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Siehe Satz 23 in Abschnitt 9.3 von Ryan O'Donnells Buch Analysis of Boolean functions . Obwohl der dortige Satz für Variablen angegeben ist, gilt er auch für Gaußsche (Einzelheiten dazu finden Sie in Kapitel 10 des Buches). $\pm 1$

Für die allgemeinere Aussage siehe Übung 7 in diesen Vorlesungsunterlagen von Terry Tao .

— Yuval Filmus
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Entschuldigung, die vorherige Aussage der Frage ist nicht korrekt. Jetzt habe ich einige Korrekturen vorgenommen. Und was können wir für allgemeinere Zufallsvariablen mit etwas abnehmendem Schwanzverhalten sagen?

— Steve

Ihre allgemeinere Frage wird in den Vorlesungsskripten von Terry Tao behandelt.

— Yuval Filmus