Vermutung: Alle FPT NP-vollständigen Sprachen sind isomorph mit festen Parametern

Berman-Hartmanis-Vermutung: Alle NP-vollständigen Sprachen sehen gleich aus, in dem Sinne, dass sie durch polynomielle Zeitisomorphismen miteinander in Beziehung gesetzt werden können [1].

Ich interessiere mich für eine feinkörnigere Version der "Polynomzeit", wenn wir parametrisierte Reduktionen verwenden.

Ein parametrierte Problem ist eine Teilmenge von , wobei eine endliche Alphabet und ist der Satz von nicht - negativen Zahlen. Eine Instanz eines parametrisierten Problems ist daher ein Paar , wobei der Parameter ist. $Σ^∗ × Z \geq 0$ $Σ$ $Z\geq 0$ $(I, k)$ $k$

Ein parametrisierter Problem wird fester Parameter reduzierbar auf ein parametrisierte Problem , wenn es vorhanden Funktionen , : , und ein Polynom so dass für jeden Fall von , $π_1$ $π_2$ $f$ $g$ $Z≥0 → Z≥0$ $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ $p(·)$ $(I, k)$ $π_1$ ist eine Instanz von in der Zeit und genau dannberechenbar ist,wenn $(Φ(I, k), g(k))$ $π_2$ $f(k) · p(|I|)$ $(I, k) ∈ π_1$ $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ . Zwei parametrisierte Probleme sind mit festen Parametern äquivalent, wenn sie mit festen Parametern auf einander reduzierbar sind.

Einige NP-vollständige Probleme sind FPT, zum Beispiel ist die Entscheidungsversion des Vertex-Cover-Problems NP-Complete, es hat einen -Algorithmus [2]. Das Finden besserer Reduzierungen fester Parameter eines FPT-Problems, das NP-vollständig ist, kann zu einem besseren Algorithmus führen, beispielsweise durch Aufrufen einer Reduktion auf eine "obige Garantieversion" des Multiway Cut-Problems kann zu einem Algorithmus in der Zeit für das AGVC-Problem (Above Guarantee Vertex Cover) [3], das besser ist als der ursprüngliche -Algorithmus [4]. $O(1.2738^k + kn)$ $O^*(4^k)$ $O^*(15^k)$

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Ist diese Vermutung wahr?

[1] Berman, L.; Hartmanis, J. (1977), "Über Isomorphismen und Dichte von NP und anderen vollständigen Mengen", SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj und G. Xia, Verbesserte Obergrenzen für die Scheitelpunktabdeckung, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), S. 3736–3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk und JO Wojtaszczyk, On Multiway Cut, parametrisiert über den unteren Grenzen, in IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan und V. Raman, Parametrisierung über garantierten Werten: Maxsat und Maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), S. 335-354.

complexity-classes np-complete fixed-parameter-tractable

— Rupei Xu
quelle

Ich verstehe nicht, was Sie unter einer "FPT NP-vollständigen Sprache" verstehen. Es gibt keine natürliche Vorstellung davon, dass eine Sprache an sich FPT ist. Die Frage ist, ob ein Sprach- / Parameterpaar FPT ist.

— Huck Bennett

Beachten Sie, dass eine Reduzierung mit festen Parametern nur ein FPT-Problem lösen und eine triviale Ja / Nein-Instanz des Zielproblems ausgeben kann.

— Serge Gaspers

Serge Gaspers hat bereits erwähnt, warum Ihre Vermutung trivial wahr ist.
Tatsächlich kann man jedoch Isomorphismen mit festen Parametern für die Polynomzeit erhalten , von
denen ich jetzt weiß, dass sie nicht viel weniger trivial sind, da sie für jedes
geordnete Paar nicht trivialer FPT-Probleme mit einer Reduktion im gewöhnlichen Sinne gelten.

$c$ $\pi_1$
$Y$ $N$ $\pi_2$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\pi_1$ $n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$ $N$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\:$ $c$ $\pi_1$ $k$ $n$ $n^{\hspace{.02 in}c}$ $\:$ $k$ $\:$ Daher erfüllt es Ihre Festparameterbedingung.