Vermutung: Alle FPT NP-vollständigen Sprachen sind isomorph mit festen Parametern


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Berman-Hartmanis-Vermutung: Alle NP-vollständigen Sprachen sehen gleich aus, in dem Sinne, dass sie durch polynomielle Zeitisomorphismen miteinander in Beziehung gesetzt werden können [1].

Ich interessiere mich für eine feinkörnigere Version der "Polynomzeit", wenn wir parametrisierte Reduktionen verwenden.

Ein parametrierte Problem ist eine Teilmenge von , wobei Σ eine endliche Alphabet und Z 0 ist der Satz von nicht - negativen Zahlen. Eine Instanz eines parametrisierten Problems ist daher ein Paar ( I , k ) , wobei k der Parameter ist.Σ×Z0ΣZ0(I,k)k

Ein parametrisierter Problem wird fester Parameter reduzierbar auf ein parametrisierte Problem π 2 , wenn es vorhanden Funktionen f , g : Z 0 Z 0 , Φ : Σ * × Z 0 Σ * und ein Polynom p ( · ) so dass für jeden Fall ( I , k ) von π 1 , ( Φ ( I ,π1π2fgZ0Z0Φ:Σ×Z0Σp(·)(I,k)π1 ist eine Instanz von π 2, die in der Zeit f ( k ) · p ( | I | ) und ( I , k ) π 1 genau dannberechenbar ist,wenn ( Φ ( I , k ) , g ( k ) ) π 2(Φ(I,k),g(k))π2f(k)·p(|I|)(I,k)π1(Φ(I,k),g(k))π2. Zwei parametrisierte Probleme sind mit festen Parametern äquivalent, wenn sie mit festen Parametern auf einander reduzierbar sind.

Einige NP-vollständige Probleme sind FPT, zum Beispiel ist die Entscheidungsversion des Vertex-Cover-Problems NP-Complete, es hat einen -Algorithmus [2]. Das Finden besserer Reduzierungen fester Parameter eines FPT-Problems, das NP-vollständig ist, kann zu einem besseren Algorithmus führen, beispielsweise durch Aufrufen einer Reduktion auf eine "obige Garantieversion" des Multiway Cut-Problems kann zu einem Algorithmus in der Zeit O ∗ führen ( 4 k ) für das AGVC-Problem (Above Guarantee Vertex Cover) [3], das besser ist als der ursprüngliche O ( 15 k ) -Algorithmus [4].O(1.2738k+kn)O(4k)O(15k)

My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.

Ist diese Vermutung wahr?

[1] Berman, L.; Hartmanis, J. (1977), "Über Isomorphismen und Dichte von NP und anderen vollständigen Mengen", SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj und G. Xia, Verbesserte Obergrenzen für die Scheitelpunktabdeckung, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), S. 3736–3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk und JO Wojtaszczyk, On Multiway Cut, parametrisiert über den unteren Grenzen, in IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan und V. Raman, Parametrisierung über garantierten Werten: Maxsat und Maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), S. 335-354.


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Ich verstehe nicht, was Sie unter einer "FPT NP-vollständigen Sprache" verstehen. Es gibt keine natürliche Vorstellung davon, dass eine Sprache an sich FPT ist. Die Frage ist, ob ein Sprach- / Parameterpaar FPT ist.
Huck Bennett

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Beachten Sie, dass eine Reduzierung mit festen Parametern nur ein FPT-Problem lösen und eine triviale Ja / Nein-Instanz des Zielproblems ausgeben kann.
Serge Gaspers

Antworten:


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Serge Gaspers hat bereits erwähnt, warum Ihre Vermutung trivial wahr ist.
Tatsächlich kann man jedoch Isomorphismen mit festen Parametern für die Polynomzeit erhalten , von
denen ich jetzt weiß, dass sie nicht viel weniger trivial sind, da sie für jedes
geordnete Paar nicht trivialer FPT-Probleme mit einer Reduktion im gewöhnlichen Sinne gelten.


cπ1
YNπ2
π1π2

π1nc
YN
π1π2


cπ1knnck Daher erfüllt es Ihre Festparameterbedingung.

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