Berman-Hartmanis-Vermutung: Alle NP-vollständigen Sprachen sehen gleich aus, in dem Sinne, dass sie durch polynomielle Zeitisomorphismen miteinander in Beziehung gesetzt werden können [1].
Ich interessiere mich für eine feinkörnigere Version der "Polynomzeit", wenn wir parametrisierte Reduktionen verwenden.
Ein parametrierte Problem ist eine Teilmenge von , wobei Σ eine endliche Alphabet und Z ≥ 0 ist der Satz von nicht - negativen Zahlen. Eine Instanz eines parametrisierten Problems ist daher ein Paar ( I , k ) , wobei k der Parameter ist.
Ein parametrisierter Problem wird fester Parameter reduzierbar auf ein parametrisierte Problem π 2 , wenn es vorhanden Funktionen f , g : Z ≥ 0 → Z ≥ 0 , Φ : Σ * × Z ≥ 0 → Σ * und ein Polynom p ( · ) so dass für jeden Fall ( I , k ) von π 1 , ( Φ ( I , ist eine Instanz von π 2, die in der Zeit f ( k ) · p ( | I | ) und ( I , k ) ∈ π 1 genau dannberechenbar ist,wenn ( Φ ( I , k ) , g ( k ) ) ∈ π 2. Zwei parametrisierte Probleme sind mit festen Parametern äquivalent, wenn sie mit festen Parametern auf einander reduzierbar sind.
Einige NP-vollständige Probleme sind FPT, zum Beispiel ist die Entscheidungsversion des Vertex-Cover-Problems NP-Complete, es hat einen -Algorithmus [2]. Das Finden besserer Reduzierungen fester Parameter eines FPT-Problems, das NP-vollständig ist, kann zu einem besseren Algorithmus führen, beispielsweise durch Aufrufen einer Reduktion auf eine "obige Garantieversion" des Multiway Cut-Problems kann zu einem Algorithmus in der Zeit O ∗ führen ( 4 k ) für das AGVC-Problem (Above Guarantee Vertex Cover) [3], das besser ist als der ursprüngliche O ∗ ( 15 k ) -Algorithmus [4].
Ist diese Vermutung wahr?
[1] Berman, L.; Hartmanis, J. (1977), "Über Isomorphismen und Dichte von NP und anderen vollständigen Mengen", SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.
[2] J. Chen, IA Kanj und G. Xia, Verbesserte Obergrenzen für die Scheitelpunktabdeckung, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), S. 3736–3756.
[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk und JO Wojtaszczyk, On Multiway Cut, parametrisiert über den unteren Grenzen, in IPEC, 2011.
[4] M. Mahajan und V. Raman, Parametrisierung über garantierten Werten: Maxsat und Maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), S. 335-354.