Gerichtete Multigraphen als minimale Automaten

Bei einer regulären Sprache auf Alphabet kann sein minimaler deterministischer Automat als gerichteter verbundener Multigraph mit konstantem Out-Gradund einen markierten Anfangszustand (durch Vergessen von Bezeichnungen von Übergängen, Endzuständen). Wir behalten den Ausgangszustand bei, da jeder Scheitelpunkt von dort aus zugänglich sein muss.$L$$A$$|A|$

Ist das Gegenteil wahr? Wenn also ein gerichteter verbundener Multigraph mit konstantem Außengrad und Anfangszustand gegeben ist, so dass jeder Scheitelpunkt von ihm aus zugänglich ist, gibt es immer eine Sprache so dass der zugrunde liegende Graph des Minimalautomaten von ?$G$$L$$G$$L$

Zum Beispiel, wenn es wahr, da der Graph ein "Lasso" mit einem Präfix der Größe und einer Schleife der Größe muss und dem minimalen Automaten von .$|A|=1$$i$$j$$L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

Die Motivation liegt in einem verwandten Problem, das bei einer Reduzierung der Entscheidbarkeit auftritt, bei der die Lösung einfacher ist: Ausgehend von einem nicht orientierten einfachen Diagramm und mit mehr zulässigen Operationen wie dem Hinzufügen von Senken. Aber ich habe mich gefragt, ob sich jemand diese natürlichere Frage bereits angesehen hat?

Die einzigen Dinge, die ich in der Literatur aus der Ferne finden könnte, sind Artikel wie Complexity of Road Coloring mit vorgeschriebenen Reset-Wörtern , bei denen das Ziel darin besteht, einen solchen Multigraph so zu färben, dass der resultierende Automat ein Synchronisationswort hat. Minimalität scheint jedoch nicht berücksichtigt zu werden.

Update : Folgefrage nach der Antwort von Klaus Draeger: Wie komplex ist die Entscheidung, ob ein Graph diese Form hat? Wir können die Beschriftung erraten und die Minimalität des Automaten polynomiell überprüfen, also in NP, aber können wir mehr sagen?

Jeder absorbierende Knoten muss entweder akzeptieren oder nicht (damit entweder alles oder nichts akzeptiert wird, sobald eingegeben wird). Wenn der Graph mehr als zwei absorbierende Knoten hat, werden einige von ihnen für jede Wahl der Beschriftungs- und Akzeptanzmenge gleichwertig sein.$n$$n$

Allgemeiner gibt es für jeden stark verbundenen Graphen nur eine endliche Zahl verschiedener möglicher Markierungen und akzeptierender Teilmengen; Wenn Ihr Graph mehr als terminale stark verbundene Komponenten hat, die (z. B. an den Blättern eines Baumes angebracht), kann er keinem minimalen Automaten entsprechen.$H$$n(H)$$n(H)$$H$

BEARBEITEN, bezüglich der Folgefrage: Das klingt schwierig. Ein Ansatz, den mein Argument vorschlägt, könnte folgendermaßen aussehen:

• Partition in SCCs. Das ist billig; Verwendung des Tarjan-Algorithmus.$G$$O(|V|+|E|)$
• Sortieren Sie die SCCs in Isomorphismusklassen. Leider ist nicht bekannt, dass der Graphisomorphismus in .$P$
• Bestimmen Sie für jede terminale Isomorphismusklasse die Anzahl der zulässigen entsprechenden Unterautomaten und schlagen Sie fehl, wenn nicht genügend davon vorhanden sind. Beachten Sie, dass nicht jede Kombination aus Akzeptieren von Teilmengen- und Kantenbeschriftung zulässig ist. Angenommen, unser Alphabet lautet , und eine Komponente hat zwei Knoten mit jeweils einer Selbstschleife und einer Kante zum anderen Knoten. Wenn beide Knoten beide Schleifen mit (und die anderen Kanten mit ) akzeptieren und beschriften, entsteht ein Automat, der einem einzelnen absorbierenden Zustand bisimilar ist und die Minimalität verletzt.$\{a,b\}$$a$$b$
• Behandeln Sie die verbleibenden SCCs in der DAG unter Berücksichtigung der niedrigeren ähnlich. Ich bin ein bisschen verschwommen in den Details dieses Teils.

Dies ist ein Schritt, dessen Komplexität bekanntermaßen offen ist, und ein anderer, der anscheinend exponentielle Zeit benötigt (da möglicherweise exponentiell viele Partitionen in Bisimilaritätsklassen vorhanden sind, die bei der Bestimmung zulässiger Automaten ausgeschlossen werden müssen). Können wir es besser machen?