Ist es noch offen, die Komplexität der Berechnung der Baumbreite planarer Graphen zu bestimmen?

Für eine konstante , kann man in linearer Zeit, da ein Eingangs Graph bestimmen , ob seine Baumweite IS . Wenn jedoch sowohl als auch als Eingabe angegeben werden, ist das Problem NP-schwer. ( Quelle ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Wenn der Eingabediagramm jedoch planar ist , scheint viel weniger über die Komplexität bekannt zu sein. Das Problem war anscheinend im Jahr 2010 offen , eine Behauptung, die auch in dieser Umfrage im Jahr 2007 und auf der Wikipedia-Seite für Branchenzerlegungen auftauchte . Umgekehrt wird das Problem in einer früheren Version der zuvor erwähnten Umfrage als NP-schwer (ohne Referenznachweis) bezeichnet , aber ich gehe davon aus, dass dies ein Fehler ist.

Ist es noch offen, die Komplexität des Problems zu bestimmen, wenn und ein planarer Graph und die Baumbreite ? Wenn ja, wurde dies in einem kürzlich erschienenen Artikel behauptet? Sind teilweise Ergebnisse bekannt? Wenn nicht, wer hat es gelöst? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
quelle

Interessante Frage, Prost für den Neustart der Umfrage. Um meine 2 Cent einzuschränken , ich glaube, die ursprüngliche Quelle für den linearen Zeitnachweis ist Bodlaender, aber der konstante Faktor, der durch die asymptotische Komplexitätsnotation verborgen wird, ist enorm. Vielleicht wäre eine interessante Abspaltung / Erweiterung Ihrer Frage, ob die planare Beschränkung in diesem Zusammenhang einen praktischeren konstanten Faktor zulässt?

— Fasermaler

Ich denke, dass es ein "berühmtes und altes Problem" ist. Wenn Sie also kein Papier finden, ist es wahrscheinlich immer noch ein offenes Problem. Weitere "Nachweise": Vorlesung aus dem Kurs Graph Algorithms, Applications and Implementations (2015), Vorlesung aus dem Kurs Graphs & Algorithms: Advanced Topics (2014), Encyclopedia of Algorithms (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Es kann innerhalb eines konstanten Faktors (3/2) angenähert werden, indem die Tatsache verwendet wird, dass es und die Verzweigungsbreite innerhalb einer Konstanten voneinander liegen und die planare Verzweigungsbreite in Polynomzeit berechnet werden kann. Mit Leighton-Rao kann es auch für alle Graphen im Protokoll angenähert werden. siehe kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler Der erste Schritt in Bodlaenders Algorithmus (und früheren Algorithmen, die FPT, aber keine lineare Zeit waren) besteht darin, eine ungefähre Baumzerlegung zu berechnen, anhand derer man mithilfe dynamischer Programmierung die optimale Zerlegung ermitteln kann. Je enger die Annäherung, desto schneller der zweite Schritt. Die Tatsache, dass engere Annäherungen an die planare Baumbreite unter Verwendung der Verzweigungsbreite gefunden werden können, führt wahrscheinlich zu einer besseren Abhängigkeit vom Parameter (auf Kosten der Rückkehr vom linearen zum Polynom). Aber ich kenne keine Papiere, die dies sorgfältig analysieren.

— David Eppstein

In Bezug auf das Problem der Annäherung an die Baumbreite. Eine

Approximation zum Auffinden von dünnbesetzten / ausgeglichenen Knotentrennern ergibt eine

-Näherung für die Baumbreite. In allgemeinen Graphen erhalten wir also

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

über ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi und

in planaren und richtigen minderjährigen geschlossenen Familien. Für allgemeine Graphen kann man

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

wobei

die Baumbreite ist.

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Chandra Chekuri

Soweit ich weiß, ist die NP-Vollständigkeit der Berechnung der Baumbreite eines planaren Graphen noch offen. Die letzte mir bekannte Referenz ist eine Umfrage von Bodlaender aus dem Jahr 2012 mit dem Titel "Fixed-Parameter Tractability of Treewidth and Pathwidth", die in der Festschrift zum 65. Geburtstag von Mike Fellows veröffentlicht wurde. Das Problem ist im Abschluss der Umfrage aufgeführt.

— Bart Jansen
quelle

Vielen Dank! (Und danke auch an @MarzioDeBiasi, der andere Referenzen vorgeschlagen hat.) Weiß jemand aus Neugier auch, wann das Problem zum ersten Mal aufgetreten ist?

— 3.