Kann eine erbliche Graphklasse fast alle, aber nicht alle n-Vertex-Graphen enthalten?

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Sei eine erbliche Klasse von Graphen. (Hereditary = zu nehmen Untergraphen in Bezug geschlossen.) Es sei den Satz von bezeichnen -eckiges Graphen in . Nehmen wir an, dass fast alle Graphen enthält , wenn sich der Bruchteil aller in fallenden Vertex-Graphen 1 nähert, als . $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

Frage: Ist es möglich, dass eine erbliche Graphklasse fast alle Graphen enthält, aber für jedes gibt es mindestens einen Graphen, der nicht in ? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Andras Farago
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Die Antwort ist nein - für ein festen lassen die Anzahl der Ecken in dem kleinsten Graph nicht in . Betrachten Sie nun viel größer als . Für einen Zufallsgraphen auf Eckpunkten hängt die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten Eckpunkte induzieren, nur von . Die Aufteilung der Scheitelpunktmenge in disjunkte Mengen der Größe und die Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit, dass keine der Mengen gleich zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, in gegen als tendiert $Q$ $t$ $H$ $Q$ $n$ $t$ $n$ $t$ $H$ $t$ $n/t$ $t$ $H$ $Q$ $0$ steigt an. $n$

— Daniello
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\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

1

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

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$C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ $Q$

Da die Grenze für erbliches immer 0 ist , ist eine grundlegende Frage, wie die Funktionselbst verhält sich. Es sei die Anzahl der ganzzahligen Partitionen , wobei . Es stellt sich heraus, dass die unbeschriftete Geschwindigkeit "springt": entwederist polynomiell begrenzt oder anderweitig . $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks und Vera T. Sós, Die unbeschriftete Geschwindigkeit einer erblichen Grapheneigenschaft , Journal of Combinatorial Theory, Reihe B, 99 9–19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( Preprint )

— András Salamon
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