Eine Sprache in sich „einbetten“

Haupt / Allgemeine Frage

Sei eine Sprache. Definieren Sie die Sprachen mit und für . Betrachte . Wir haben also wiederholt in sich "eingebettet" , um . $L$ $L_i$ $L_0 = L$

L_{i} = {x w y : x y \in L_{i - 1}, w \in L}

$L_i = \{xwy : xy \in L_{i-1}, w \in L\}$

i \geq 1

$i \geq 1$

\hat{L} = ⋃ L_{i}

$\hat{L} = \bigcup L_i$

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

Wurde untersucht? Hat es einen Namen? $\hat{L}$

Beispiele / Motivation

Wie in den Kommentaren von hier angefordert, sind einige Beispiele, um besser zu veranschaulichen, was ist. Dann, da (bisher) niemand diesen Begriff gesehen zu haben scheint, werde ich über meine Motivation sprechen, ihn anzuschauen. $\hat{L}$

Klaus Draeger hat mich geschlagen, um Beispiele hinzuzufügen. Ich werde diese Beispiele aus den Kommentaren hier einfügen, um die Sichtbarkeit zu erhöhen, da sie gute Beispiele sind.

Wenn eine unäre Sprache ist , dann ist (und ist daher regulär). $L$ $\hat{L} = L^+$

Wenn , dann ist die Dyck-Sprache . $L = {ab}$ $\hat{L}$

Hier ist eine alternative Möglichkeit, an zu denken . Wenn wir eine Sprache über einem Alphabet haben, spielen wir das folgende Spiel. Wir nehmen jedes , um auf die leere Zeichenkette zu reduzieren , indem wir wiederholt Unterwörter entfernen, die sich in . (Hier müssen wir etwas vorsichtig sein, wie wir die leere Zeichenfolge selbst behandeln, um sicherzustellen, dass dies der obigen Definition entspricht, dies aber moralisch korrekt ist.) $\hat{L}$ $L$ $A$ $w \in A^*$ $w$ $\epsilon$ $L$

Ursprünglich kam ich zum Define indem ich überlegte, Kräfte in Worten zu löschen. Nimm als die Sprache der Würfel über dem binären Alphabet . Dann und wir können die folgende " Löschung" betrachten $\hat{L}$ $L = \{w^3 : w \in A^*\}$ $A = \{a,b\}$ $aaabaabaabbabab \in \hat{L}$ $L$

a (a a b a a b a a b) b a b a b \to a b a b a b \to ϵ .

$a(aabaabaab)babab \to ababab \to \epsilon.$

Beachten Sie, dass nicht alle Löschvorgänge funktionieren

(a a a) b a a b a a b b a b a b \to b a a b a a b b a b a b

$(aaa)baabaabbabab \to baabaabbabab$

und wir stecken mit einem würfelfreien Wort fest. Es gibt also eine andere Notation von "stark löschbar", die im Allgemeinen nicht mit übereinstimmt . $L$ $\hat{L}$

Ein letztes Beispiel: Wenn in der Sprache der Quadrate über dem binären Alphabet , dann ist die Zeichenfolge mit einer geraden Anzahl von 's und einer geraden Anzahl von ' s. Offensichtlich ist diese Bedingung notwendig. Eine Möglichkeit, dies zu erkennen, besteht darin, das Löschen von Quadraten in Betracht zu ziehen und jedes binäre Wort mit der Länge 4 oder groß mit einem Quadrat zu belegen. Hier ist regelmäßig. $L$ $A = \{a,b\}$ $\hat{L}$ $a$ $b$ $\hat{L}$

Bei größeren Alphabeten schlägt diese Art von Argument fehl, da es beliebig lange quadratfreie Wörter gibt . Mit Buchstaben der Größe $k \geq 3$ kann ich zeigen, dass Myhill-Nerode nicht regelmäßig verwendet und dass es beliebig lange quadratfreie Wörter gibt, aber ich konnte nicht viel mehr sagen. Ich hatte gehofft, es auf diese abstraktere Weise zu betrachten, um etwas Licht in die Situation zu bringen (und diese abstraktere Definition scheint an sich schon interessant zu sein). $\hat{L}$

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— John Machacek
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Können Sie einige anschauliche Beispiele nennen?

— Phs

Einige Beispiele: Wenn

ist die Singleton Sprache

, dann

ist die Dyck Sprache ausgewogen Saiten Klammern; für eine Sprache

über ein Singleton Alphabet erhalten wir

(so ist es immer regelmäßig in diesem Fall).

L

$L$

{()}

$\{()\}$

\hat{L}

$\hat{L}$

L = {a^{i} | i \in I}

$L=\{a^i|i\in I\}$

\hat{L} = L^{+}

$\hat{L}=L^+$

— Klaus Draeger

@phs Ich habe die Frage mit (viel) mehr Details modifiziert.

— John Machacek

Noch ein relativ einfaches Ergebnis ist , dass wenn

kontextfrei ist, dann ist auch

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

— Klaus Draeger

Vielen Dank für die Beispiele und Motivation. Es ist jetzt viel einfacher, sich an Ihr Problem zu erinnern und es weiterzugeben. Aktualisieren Sie Ihre ursprüngliche Frage, wenn Sie neue Entwicklungen haben.

— Phs

Diese Frage bezieht sich auf die sogenannten Insertionssysteme .

Ein Einfügungssystem ist eine spezielle Art von Umschreibungssystem, dessen Regeln die Form für alle in einer gegebenen Sprache . Lassen Sie uns schreiben , wenn und für einige . Lassen wir uns von bezeichnen die reflexive transitive Schließung der Beziehung . Die Schließung einer Sprache von $1 \rightarrow r$ $r$ $R$ $u \rightarrow_R v$ $u = u'u''$ $v = u'ru''$ $r \in R$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $\rightarrow_R$ $L$ unter ist die Sprache Daran erinnerndass einegut Quasi-Ordnungauf einem Satz ist ein reflexive und transitives Verhältnis so, dass für jede unendliche Folge von Elementen von $A^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$

[L]_{{\overset{*}{\to}}_{R}} = {v \in A^{*} ∣ there exists u \in L such that u {\overset{*}{\to}}_{R} v}

$[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R} = \{ v \in A^* \mid \text{ there exists $u \in L$ such that $u \buildrel{*}\over\rightarrow_R v$} \}$

E

$E$

⩽

$\leqslant$

x_{0}, x_{1}, \dots

$x_0, x_1, \ldots$

E

$E$ gibt es zwei ganze Zahlen

so dass

. Der folgende Satz ist in [1] bewiesen:

i < j

$i < j$

x_{i} ⩽ x_{j}

$x_i \leqslant x_j$

Wenn ein endlicher Satz von Worten , so daß die Sprache endlich ist , dann ist die Beziehung ist eine gut Quasi-Ordnung auf und regulär. $H$ $A^* \setminus A^*HA^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $A^*$ $[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R}$

[1] W. Bucher, A. Ehrenfeucht und D. Haussler . Comput. Sci. 40 , 2-3 (1985), 131–148.

— J.-E. Stift
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Als J.-E. Pin wies darauf hin, meine Frage befasst sich mit Einfügung . Ich habe eine andere Quelle gefunden, die ich hier für alle Interessierten posten werde.

L.Kari. Zum Einfügen und Löschen in formalen Sprachen. Ph.D. Diplomarbeit, Universität Turku, 1991.

Hier ist Teil I und Teil II der Arbeit.

Soweit ich weiß, ist dies die ursprüngliche Quelle für das Studium der Insertion.

— John Machacek
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