Wann lässt eine Grafik eine Ausrichtung zu, in der es höchstens einen Schritt gibt?

Betrachten Sie das folgende Problem:

Eingabe: ein einfacher (ungerichteter) Graph .$G=(V,E)$

Frage: Gibt es eine Orientierung von die die Eigenschaft erfüllt, dass es für jedes s , t ∈ V höchstens einen (gerichteten) s - t Spaziergang gibt?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Dies kann äquivalent ausgedrückt werden als:

Eingabe: ein einfacher (ungerichteter) Graph .$G=(V,E)$

Frage: Gibt es eine azyklische Orientierung von die die Eigenschaft erfüllt, dass es für jedes s , t ∈ V höchstens einen (gerichteten) s - t Pfad gibt?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Was ist die Klasse von Graphen, für die die Antwort "Ja" lautet? Kann dieses Problem in Polynomzeit gelöst werden?

Einige Beobachtungen:

1. Wenn der Graph zweiteilig ist, lautet die Antwort "Ja".
2. Wenn der Graph ein Dreieck hat, lautet die Antwort "Nein".

Die erste Beobachtung folgt, indem die Kanten von einer Trennwand zur anderen ausgerichtet werden. Die zweite Beobachtung ist leicht zu überprüfen. Dies führte mich zu zwei falschen Vermutungen:

1. Die Antwort lautet genau dann "Ja", wenn der Graph zweiteilig ist. (Gegenbeispiel: der 5-Zyklus)
2. Die Antwort lautet "Ja", wenn und nur wenn der Graph dreieckfrei ist (Gegenbeispiel: das kartesische Produkt einer Kante mit dem 5-Zyklus)

Es ist NP-vollständig durch eine Reduzierung von ungleich 3SAT. Um dies zu sehen, beobachten Sie das

• $4$
• $P$$P$$5$$P$$5$$P$

$v$$k$$k$$4$$4$$4$$4$$4$$4$-Zyklus, so dass diese Geräte nur in der Ausrichtung ihrer Kanten und nicht durch die Existenz längerer Pfade miteinander interagieren können.

$4$$P$$P$$5$$5$

$s$$t$$s$$t$