Gibt es in der theoretischen CS Themen, bei denen es mehr um reine Mathematik geht?

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Ich bin ein Doktorand in theoretischer Informatik und insbesondere in Approximationsalgorithmen. Ich finde jetzt, dass ich mich mehr für reine Mathematik interessiere (ich kann das sagen, weil ich Mathematikkurse anscheinend mehr genossen habe als die CS-Kurse). Ich möchte fragen, ob es Bereiche in der theoretischen Informatik gibt, die so ziemlich reine Mathematik sind (genauer gesagt, ein Bereich, der für reine Mathematik allein von Interesse ist, ohne die Anwendungen für CS zu berücksichtigen), oder ob ich muss Betrachten Sie einen Hauptschalter. Ich bin bereits zweieinhalb Jahre im Programm, daher bin ich mir nicht sicher, ob ein Wechsel zu diesem Zeitpunkt eine gute Idee wäre.

Das einzige, was ich finden konnte, war die Graph-Minor-Theorie aus dem Durchsuchen von Akzeptanzlisten der Top-Konferenzen. Aber das zählt für mich nicht als „Bereich“, auf den ich mich konzentrieren kann.

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— wissenschaftliche Linse
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Jeder Bereich der Informatik, in dem es um reine Mathematik geht, wird wahrscheinlich eher von der Informatik als von der reinen Mathematik motiviert. Betrachten Sie Hamilton-Zyklen: Was kann reiner sein, als sich um Zyklen zu kümmern, die die Eckpunkte eines gesamten Graphen durchlaufen? Wenn dies Verbindungen zur Logik hat, ist dies aus rein mathematischer Sicht nicht noch besser? Doch wie könnten Sie mehr in CS verankert sein, als über HAMCYCLE nachzudenken?

— Niel de Beaudrap

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"Ich kann das sagen, weil ich anscheinend mehr Spaß an Mathematikkursen habe": Ich glaube nicht, dass dies eine gute Vorstellung davon gibt, was Sie in TCS stört, um Ihre Frage zu beantworten. Es gibt viele, viele Dinge, die sowohl für TCS- als auch für Mathematik-Communities von Interesse sind, aber die gestellten Fragen sind normalerweise etwas anders. Mir ist auch nicht klar, warum die Graph-Minor-Theorie kein Bereich ist, auf den Sie sich konzentrieren können.

— Sasho Nikolov

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Auf jeden Fall einige Ideen: metrische Einbettungen; Fourier-Analyse an endlichen abelschen Gruppen; Markov-Ketten in einem diskreten / endlichen Zustandsraum.

— Sasho Nikolov

etwas verwandte Beispiele für "nicht verwandte" Mathematik, die eine grundlegende Rolle in TCS spielen?

— vzn

In Bezug auf das Risiko eines Wechsels wäre Academia Stack Exchange vielleicht besser geeignet?

— Clément

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Hier sind drei weitere Felder, die Ihren Kriterien entsprechen.

Kategorietheorie . Dies ist für die meisten reinen Mathematikbereiche eindeutig interessant, hat aber auch einen großen Einfluss auf die Theorie der (funktionalen, sequentiellen) Programmiersprachen.
Logik , insbesondere Beweistheorie. Die Verbindungen zur Informatik sind zu viele, um sie zu nennen, aber die Logik ist nicht nur ein reiches Feld der reinen Mathematik, sondern auch die Grundlage der Mathematik.
Zahlentheorie , die "Königin der Mathematik", die als anwendungsfrei galt ... bis die Kryptographie kam.

— Martin Berger
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Anmerkung zur Logik siehe esp deskriptive Komplexitätstheorie (Wikipedia)

— vzn

Ich bin mir nicht sicher, ob die Kategorietheorie (insbesondere in CS) für die meisten mathematischen Bereiche auf Forschungsebene interessant ist, selbst wenn sie in mehreren Bereichen als Grundsprache verwendet wird. Obwohl sich die Kategorietheorie auf Forschungsebene in (einigen) algebraischen Geometrie- und Darstellungstheorien deutlich zeigt, unterscheidet sich diese Art der Kategorietheorie, soweit ich das beurteilen kann, stark von der in der Informatik verwendeten.

— Joshua Grochow

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@JoshuaGrochow Das stimmt teilweise, aber das liegt zum Teil daran, dass es in Arbeit ist. Es gibt verlockende Hinweise, die auf eine tiefere Integration hinweisen: (1) Voevodskys einwertige Grundlagen versuchen, die Ideen des Weges in der Homotopietheorie mit Beweisen in der Logik zu vereinen; (2) die kohlegebraischen Theorien reeller Zahlen von Pavlovic et al. (3) kategoriale Grundlagen der Quantenmechanik, siehe zB "Physik, Topologie, Logik und Berechnung: Ein Rosettastein" von Baez und Stay.

— Martin Berger

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Ja: Graphentheorie, Computergeometrie, Komplexitätstheorie und Kombinatorik sind die Dinge, an denen ich in CS forsche. Vektorräume und Maßtheorie könnten auch beim theoretischen maschinellen Lernen nützlich sein.

Es gibt viel mehr reine Mathematik in der theoretischen CS, aber sie kommen nicht so oft in die Nachrichten wie KI und maschinelles Lernen, weshalb man nicht viel über sie hört.

Ich persönlich bin von Physik und reiner Mathematik zu CS gewechselt (ja, wie bei der abstrakten Algebra) und finde immer wieder interessante Probleme.

— Keng
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Und ich würde dieser Liste diskrete Geometrie hinzufügen.

— Sariel Har-Peled

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Die geometrische Komplexitätstheorie ist extrem "mathematisch" und viele ihrer führenden Forscher sind mehr Mathematiker. siehe zB Geometrische Komplexitätstheorie: eine Einführung für Geometer / Landsberg
Die Gruppentheorie wird auf viele tiefe Arten mit TCS verbunden, z. B. bei der Untersuchung des Wortes Problem, Isomorphismen und Unentscheidbarkeit. siehe zB DAS WORTPROBLEM UND DAS ISOMORPHISMUSPROBLEM FÜR GRUPPEN / Stillwell
Einige Automatentheorien sind sehr mathematisch, z. B. die Verbindung von Halbgruppen mit Wandlern mit endlichen Zuständen usw. siehe z. B. Mathematische Grundlagen der Automatentheorie / Pin

— vzn
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Warum die Zitate um "mathematisch"?

— Joshua Grochow

In einigen Bereichen kann es schwierig sein, "(T) CS" -Inhalte von "mathematischen" zu unterscheiden, wie die Frage aufwirft. Das Ende dieses Satzes sollte lauten: "Führende Ermittler sind [fast] mehr Mathematiker als Informatiker". Die beiden Felder verschmelzen langsam in vielerlei Hinsicht. Dies ist im Laufe des 20. Jahrhunderts zu beobachten und setzt sich im 21. Jahrhundert fort. Eine fortlaufende Fusion, die wahrscheinlich ein ganzes Buch verdient und einige kommen nahe (z. B. Davis, Engines of Logic: Mathematiker und der Ursprung des Computers ).

— vzn

Die Frage war in dieser Hinsicht ziemlich klar: "Ein Bereich, der für reine Mathematik von Interesse ist, ohne die Anwendungen für CS zu berücksichtigen." Dies gilt sicherlich für viele, wenn nicht die meisten mathematischen Fragen, die sich in der GCT stellen.

— Joshua Grochow

Hier ist ein weiterer ähnlicher Hinweis auf Unentscheidbarkeit in Gruppentheorie und Wortproblemen. TURING MACHINES TO WORD PROBLEMS / Miller

— vzn

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$\mathbb{B}$ $\mathbb{F}_2$

Zum Beispiel nutzt man Halbgruppen (auch Gruppen spielen ebenfalls eine wichtige Rolle) und viele Ergebnisse zu endlichen Halbgruppen in den letzten Jahren waren ursprünglich durch die Automatentheorie motiviert. Semirings werden ebenfalls verwendet (anstelle von Ringen): Beispielsweise wurde das tropische Semiring zuerst in die Automatentheorie eingeführt, bevor es in der tropischen Geometrie verwendet wurde , einem erfolgreichen neuen Bereich in der Mathematik. Weitere Themen im Zusammenhang mit Automaten sind Logik und Theorie des endlichen Modells (denken Sie an Rabins Baumsatz), Topologie, Dualität und (quasi) ungleichmäßige Räume sowie einige Zahlentheorien (insbesondere für Fragen zu Zahlensystemen und formalen Potenzreihen), Wahrscheinlichkeitstheorie ( insbesondere Markov-Ketten) und Spieltheorie.

— J.-E. Stift
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B

$\mathbb{B}$

B^{*}

$\mathbb{B}^*$

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Um etwas mehr über die Theorie der geometrischen Komplexität (GCT) zu sagen: Dies ist die Anwendung der algebraischen Geometrie und der Darstellungstheorie auf ein Langzeitprogramm zur Auflösung von P gegenüber NP. Die in der GCT aufgeworfenen Fragen sind in der Regel tiefe mathematische Fragen, von denen einige über 100 Jahre auf die Pioniere der algebraischen Geometrie und Darstellungstheorie zurückgehen - scheinbar nichts mit Berechnung zu tun zu haben, aber über die GCT sieht man, dass sie tatsächlich eng miteinander verbunden sind mit rechnerischer Komplexität - und andere, die neue Fragen und Ideen in der reinen Mathematik aufwerfen (wiederum algebraische Geometrie und Darstellungstheorie).

— Joshua Grochow
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Nicht ganz ein theoretisches CS-Thema, sondern verwendet viele Ergebnisse aus dem theoretischen CS: Möglicherweise interessieren Sie sich für die Softwareüberprüfung, deren Ziel es ist, sicherzustellen, dass ein Programm das tut, was es tun soll, und sonst nichts. Unter den verschiedenen Techniken in diesem Thema sind einige besonders mathematisch orientiert. Viele kritische Systeme, insbesondere in den Bereichen Avionik / Raum / Atomkraft, haben sich auf diese Weise bewährt, um sicherzustellen, dass sie fehlerfrei sind.

Viele mathematische Bereiche sind beteiligt: Logik, Beweistheorie, Automatentheorie, Mengenlehre, ...