Spaß mit inversem Ackermann

Die inverse Ackermann-Funktion tritt häufig bei der Analyse von Algorithmen auf. Eine großartige Präsentation finden Sie hier: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann . und [Notation: [x] bedeutet, dass wir x auf die nächste ganze Zahl aufrunden, während log ∗ ist die hier beschriebene iterierte Protokollfunktion: http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm ]

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

Meine Frage ist: Was ist die Funktion

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$ Klar

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$ . Welche engeren Grenzen kann man für

k (n)

$k(n)$ ? Ist

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$ ?

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— Dana Moshkovitz
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Ich weiß, warum

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$ , aber können Sie erklären, warum

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$ ?

— jbapple

Ok, bearbeitet auf das unumstrittene

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$ .

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: Ich habe die Definitionen mithilfe der mir bekannten Ackermann-Hierarchie angenähert:

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$ und

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$ . Mit einer typischen Definition der Ackermann-Funktionen ist

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$ . Wenn also

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$ dann ist

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$ , dh

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$ . (Ich hoffe, ich habe dort keinen Fehler gemacht.)

— Sylvain

@DanaMoshkovitz: Zur Verdeutlichung verwende ich und , die etwas schneller wachsen als Ihre Definition, z. B. anstelle von . Es sollte jedoch keine große Konsequenz haben: und sind so ziemlich dasselbe.

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

— Sylvain

@ DanaMoshkovitz: Ich verstehe nicht, warum . Für unendlich viele Werte von Sie , dh wann immer ; Da schnell wächst, haben Sie immer längere solche Sequenzen. Mit Ihren Definitionen ist es sogar möglich, : daher aber .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

— Sylvain

Antworten:

Sei die Umkehrung von . . Ich behaupte, dass . $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

Da und da , . Als Ergebnis ist . $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

Betrachten Sie nun den Wert von . Nach Definition von ist dies . Wir wissen, dass , also . Ich behaupte, dass . . Jetzt ist , also . Da , , also . Somit ist $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ .

Wir haben also , also sind und im Wesentlichen gleich. $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
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Und lassen Sie mich hinzufügen, dass all diese Funktionen nur verschiedene komplizierte Arten sind, die Nummer 4 zu schreiben.

— Sariel Har-Peled

Das ist falsch; siehe die Kommentare.

Eine Funktion, die dieser sehr nahe kommt, wurde " " genannt und in Petties "Splay Trees, Davenport-Schinzel Sequences und The Deque Conjecture" verwendet , in der er zeigte, dass " deque-Operationen [in einem Spreizbaum] erforderlich sind nur Zeit, wobei die minimale Anzahl von Anwendungen der inversen Ackermann-Funktion ist, die auf eine Konstante abbildet. " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

Diese Funktion wächst sehr langsam und langsamer als . Betrachten Sie die Funktion $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

Diese Funktion wächst ungefähr so schnell wie , wächst also langsamer als . Jetzt werde ich und auf auswerten : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~Da , wächst viel schneller als . $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
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Wie ist die Beziehung zwischen alpha ^ * und k (n)? (Beachten Sie, dass ich in der Definition von k (n) die Notation alpha_k (n) verwende, die in dem Link definiert ist, den ich in der Frage hatte.)

— Dana Moshkovitz

Oh, tut mir leid, ich habe dein als gelesen !

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

— jbapple