Größte Zelle in einer Anordnung

Q . Wie komplex ist es, die größte volumenbegrenzte Zelle in einer Anordnung von Hyperebenen in Dimension?$n$$d$

Ich denke, ich sollte das wissen ... Aber ich finde keine endgültige Referenz.

Ist es ? Wie wäre es mit der Spezialisierung : Die größte flächenbegrenzte Zelle in einer Anordnung von Linien?$\Omega(n^d)$$d{=}2$

Irgendwie sieht es schwer aus , besser als . Wenn die Zelle signifikant größer als ihre durchschnittlich erwartete Größe ist, kann eine Stichprobe verwendet werden, um sie zu finden. Nehmen wir formal an, dass die begrenzten Zellen (in der Ebene) ein Polygon der Fläche (dieses Polygon kann in nahezu linearer Zeit in der Ebene berechnet werden). Angenommen, die größte begrenzte Zelle in der Anordnung der Linien hat die Fläche . Abtastung, Punkte von - und sei die resultierende Punktmenge. Mit hoher Wahrscheinlichkeit fällt einer der Punkte in und berechnet alle Flächen in der Anordnung, die Punkte von$O(n^d)$$1$$Q$$C$$\alpha \gg 1/n^2$$m = (\log n)/\alpha$$Q$$P$$C$$P$benötigt Zeit unter Verwendung von Standardmagie (dh Algorithmen zum Berechnen vieler Gesichter in der Anordnung von Linien).$O(( n^{2/3} m^{2/3} + n + m)*\mathrm{polylog})$

Es ist jetzt einfach, die binäre Suche auf anzuwenden , um einen Algorithmus zu erhalten, der die größte Zelle in der Zeit berechnet , wobei der Bruchteil der Fläche der größten Zelle von der Gesamtfläche der begrenzten Zellen (dh der Fläche von ) ist.$\alpha$$O\Bigl( \bigl(n + 1/\alpha + n^{2/3}/\alpha^{2/3}\bigr) \mathrm{polylog n}\Bigr)$$\alpha$$Q$