Wenn (iid Gaußsche Zahl mit Mittelwert und Varianz ) gegeben ist, ist es möglich (wie?), (Für ) so abzutasten , dass paarweise sind unabhängige Gaußsche mit Mittelwert und Varianz .
Wenn (iid Gaußsche Zahl mit Mittelwert und Varianz ) gegeben ist, ist es möglich (wie?), (Für ) so abzutasten , dass paarweise sind unabhängige Gaußsche mit Mittelwert und Varianz .
Antworten:
Das Posting auf MathOverflow zeigt, wie man von einer kleinen Anzahl unabhängiger Uniform-Zufallsvariablen [0,1] zu einer größeren Anzahl paarweise unabhängiger Uniform-Zufallsvariablen [0,1] übergeht. Sie können natürlich zwischen Uniform [0,1] und Gauß'sch wechseln, indem Sie die CDF invertieren. Dies erfordert jedoch eine numerische Analyse, da die CDF nicht geschlossen ist.
Es gibt jedoch einen einfacheren Weg von Gauß zu Uniform. Bei zwei unabhängigen Gaußschen ist der Winkel arctan ( X 1 / X 2 ) im Bereich [ 0 , 2 π ] gleichmäßig .
In ähnlicher Weise transformiert die Box-Muller-Methode zwei unabhängige Uniform [0,1] -Variablen in zwei unabhängige Gaußsche Zufallsvariablen.
Mit diesen beiden Transformationen verbrauchen Sie zwei Gaußsche, um eine Uniform zu erstellen, oder zwei Uniformen, um eine Gaußsche zu erstellen. Es gibt also nur einen Faktor von für die Abtasteffizienz. Darüber hinaus ist keine Inversion der normalen cdf erforderlich.
Diese Konstruktion liefert KEINE paarweise unabhängigen Variablen (in der Tat unten), wie von Anindya verlangt, aber es gibt paarweise unkorrelierte Variablen, die ausreichen, um gute Konzentrationsgrenzen für die Summe zu erhalten Chebyshevs Ungleichung (und das ist oft das Endziel).
Für jedes einzelne Paar seiYi,j=| Xi| ⋅σ(XiXj), wobeiσ(⋅)die Vorzeichenfunktion ist. Es ist klardass jedesYi,jeine normale Variable mitMittelwert 0 und Varianz 1. Um zu sehendass sie orthogonal sind, für(i,j)≠(i',j'), beachtendassE[Yi, das leicht auf 0 überprüft werden kann, indem die verschiedenen Fälle möglicher Gleichungen zwischeni, i ' ,j, j ' betrachtet werden .
PS: Eine frühere Version behauptete fälschlicherweise die paarweise Unabhängigkeit.