Vektoradditionssysteme mit endlichen „Hindernissen“

Ein Vector Addition System (VAS) ist eine endliche Menge von Aktionen . ist der Satz von Markierungen . Ein Lauf ist ein nicht-leeres Wort von Markierungen st . Wenn ein solches Wort existiert sagen wir , dass ist erreichbar von .$A \subset \mathbb{Z}^d$m 0 m 1 … m n ∀ i ∈ { 0 , … , n - 1 } , m i + 1 - m i ∈ A m n m $\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

Das Problem der Erreichbarkeit von VAS ist bekanntermaßen entscheidbar (seine Komplexität ist jedoch ein offenes Problem).

Nehmen wir nun an, dass eine endliche Menge verbotener Markierungen (die Hindernisse ) gegeben ist. Ich würde gerne wissen, ob das Problem der Erreichbarkeit noch entscheidbar ist.

Intuitiv sollte die endliche Menge von Hindernissen die Pfade nur lokal stören, so dass das Problem entscheidbar bleiben sollte. Aber es scheint nicht trivial, es zu beweisen.

BEARBEITEN . Ich werde die Antwort von @ Jérôme als die akzeptierte beibehalten, aber ich möchte eine Folgefrage hinzufügen: Was ist, wenn der Satz von Markierungen ?$\mathbb{Z}^d$

Die Idee basiert auf einer Diskussion, die ich heute Nachmittag mit Grégoire Sutre geführt habe.

Das Problem ist wie folgt entscheidbar.

Ein Petri-Netz ist eine endliche Menge von Paaren in als Übergänge bezeichnet werden. Bei einem Übergang bezeichnen wir mit die binäre Beziehung, die in der Menge der Konfigurationen durch wenn ein Vektor existiert, so dass und . Wir bezeichnen mit die Ein-Schritt-Erreichbarkeitsrelation . Der reflexive und transitive Abschluss dieser Beziehung wird mit bezeichnetN d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → $T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$ → x = → u + → z → y = → v + → z T → ⋃t∈T t → T ∗$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$ .

Let die klassischen komponenten partielle Ordnung über seine und definiert durch , wenn es existiert solchen dass . Das Aufwärtsschließen einer Menge von ist die Menge von Vektoren . Das Abwärtsschließen einer Menge ist die Menge von Vektoren .N d → u$\leq$$\mathbb{N}^d$→ z ∈Nd → x = → u + → Z → X Nd↑ → X { → v ∈Nd|∃ → x ∈ → X$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$ → X ↓ → X { → v ∈Nd|∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Beachten Sie, dass wir , wenn für eine endliche Menge von und ein Petri-Netz ist, ein neues Petri-Netz berechnen können so dass wir für jede Konfiguration und genau dann, wenn . In der Tat, wenn einen Übergang, dann für jeden , lassen wobei der Vektor in ist→ B NdTT → B → x , → y → x T → → y → x , u + → z , → v + → z )$\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$→ x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =($\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$ Nd → z (i)=max{ → B (i)- → u (i), → B (i)- → v (i),0}1≤i≤dT → U ={t$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ definiert komponentenweise durch für jede . Beachten Sie, dass die Anforderung erfüllt.$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

Nehmen wir nun an, dass ein Petri-Netz ist, die Menge der Hindernisse. Wir führen die endliche Menge . Beachten Sie, dass wir eine endliche Menge von effektiv berechnen können, so dass . Sei die binäre Beziehung, die über von wenn oder existiert so dass→ A → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → Y → x = → Y → x ' , → y ' ∈ N d ∖ → O → x T → → x ' T ∗ $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

Beachten Sie nun, dass es einen Lauf von der ursprünglichen Konfiguration zur letzten , der das Hindernis umgeht, und dass es einen Lauf gibt, der das Hindernis in vermeidet und das geht an Konfigurationen in höchstens dem Kardinal dieser Menge. Daher reduziert sich das Problem auf die Auswahl nicht deterministisch unterschiedlicher Konfigurationen in , Fix as die anfängliche Konfiguration , als die endgültige , und überprüfen Sie dies→ y → O → O → D ∖ → O → c 1,..., → C n → D ∖ → O → c 0 → $\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$→ Y → c j R → c j + 1$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ für jedes . Dieses letzte Problem reduziert sich auf klassische Erreichbarkeitsfragen für Petri-Netze.$j$

Ich habe über Ihre Frage nach Vektoradditionssystemen mit Zuständen (VASS) nachgedacht, die VAS entsprechen, und diese Lösung gefunden. Jetzt habe ich Jérômes nette Antwort gelesen und ich muss sagen, dass meine Antwort sehr ähnlich ist. Bitte akzeptieren Sie seine Antwort, auch wenn Sie meine für richtig halten.

Idee: Es ist möglich, ein VASS in ein VASS umzuwandeln , das Vektoren verbietet, die kleiner oder gleich den Hindernissen sind. Dies ist nicht genau das, was wir wollen, da Vektoren erreicht werden dürfen, die kleiner, aber nicht gleich den Hindernissen sind. Es gibt jedoch endlich viele solcher Vektoren. Dies ermöglicht eine Zerlegung von Minimalläufen in endlich viele Läufe, die entweder ein Übergang von oder ein äquivalenter Lauf von . Daher ist das Problem ja entscheidbar.V ' V V $V$$V'$$V$$V'$

Details: Let sein -VASS, dh ist eine endliche markierte Graph , so dass . Sei die Menge der Hindernisse. Sei und , wir schreiben wann immer ist Führen Sie mit jeder Zwischenkonfiguration in von nach . Wir bezeichnend V T ≤ Q × Z d × Q O ≤ N$V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Sei ein minimaler Lauf, so dass , dh ein minimaler Lauf, der vermeidet die Hindernisse. Dann kann nach dem Pigeonhole-Prinzip als ein Lauf faktorisiert werden, der nur endlich viele Male in eintritt . Formal gibt es , und so dass$\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Daher reicht es aus, , und die Zwischenkonfigurationen zu erraten . Testen, ob kann, indem in ein neues konvertiert wird VASS wobei jeder Übergang durch ein Gadget von Übergängen ersetzt wird. Wenn beispielsweise die Übergänge wie folgt ersetzt:$n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$