Gibt es kontraproduktive Ergebnisse in der theoretischen Informatik?

Einige mathematische und logische Paradoxe könnten wahrscheinlich automatisch auf Computer angewendet werden. Gibt es jedoch Paradoxe, die in der Informatik selbst entdeckt wurden?

Mit Paradoxen meine ich kontraintuitive Ergebnisse, die wie ein Widerspruch aussehen.

Ich finde die Tatsache, dass der Netzwerkfluss ein polynomieller Zeitzähler ist, intuitiv. Auf den ersten Blick scheint es viel schwieriger zu sein als viele NP-harte Probleme. Oder anders ausgedrückt, es gibt viele Ergebnisse in CS, bei denen die Laufzeit zur Lösung der Probleme viel besser ist als erwartet.

$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P}/poly$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{ACC}$

SAT hat nur dann einen Polynom-Zeit-Algorithmus, wenn P = NP ist. Wir wissen nicht, ob P = NP ist. Ich kann jedoch einen Algorithmus für SAT aufschreiben, der polynomial ist, wenn P = NP wahr ist. Ich kenne den korrekten Verweis dafür nicht, aber die Wikipedia-Seite gibt einen solchen Algorithmus an und schreibt Levin gut.

Die meisten Studenten sind von der Berechenbarkeit begeistert. Ein schönes Beispiel mit hoher Verwirrungsrate ist folgendes:

$f(n) := \begin{cases}1, \quad \pi \text{ has } 0^n \text{ in its decimals} \\\\ 0, \quad else\end{cases}$

$f$

$f$

$IP = PSPACE$

Wie Arora & Barak es ausdrückten (S. 157) "Wir wissen, dass Interaktion allein uns keine Sprachen außerhalb von NP gibt. Wir vermuten auch, dass Randomisierung allein der Berechnung keine signifikante Kraft hinzufügt. Wie viel Kraft könnte also die Kombination von Randomisierung und Interaktion bieten? "

Anscheinend ziemlich viel!

Wie Philip sagte, ist der Satz von Rice ein gutes Beispiel: Bevor man die Berechenbarkeit studiert, muss man wissen, dass es etwas gibt, das man über Berechnungen berechnen kann. Es stellt sich heraus, dass wir nur über einige Berechnungen etwas berechnen können.

Wie wäre es mit Martin Escardos Veröffentlichungen, die zeigen, dass es unendlich viele Mengen gibt, die in endlicher Zeit erschöpfend durchsucht werden können? Siehe Escardos Gast-Blogeintrag in Andrej Bauers Blog, zum Beispiel "Scheinbar unmögliche Funktionsprogramme" .

Das Rekursions-Theorem scheint sicherlich nicht intuitiv zu sein, wenn Sie es zum ersten Mal sehen. Im Wesentlichen heißt es, dass Sie bei der Beschreibung einer Turing-Maschine davon ausgehen können, dass sie Zugriff auf eine eigene Beschreibung hat. Mit anderen Worten, ich kann Turingmaschinen bauen wie:

TM M akzeptiert n, wenn n ein Vielfaches der Häufigkeit ist, mit der "1" in der Zeichenfolgendarstellung von M angezeigt wird.

TM N nimmt eine Zahl n auf und gibt n Kopien von sich aus.

Beachten Sie, dass sich die "Zeichenfolgendarstellung" hier nicht auf die informelle Textbeschreibung bezieht, sondern auf eine Codierung.

Ein weiteres kontraintuitives Ergebnis ist die Überprüfung informationstheoretischer Ergebnisse auf der Grundlage komplexitätstheoretischer Annahmen. Zum Beispiel haben Bellare et al. In ihrer Arbeit Die (wahre) Komplexität des statistischen Nullwissens hat konstruktiv bewiesen, dass unter der zertifizierten Annahme eines diskreten Protokolls jede Sprache, die statistisches Nullwissen von einem ehrlichen Prüfer zulässt, auch statistisches Nullwissen zulässt.

Das Ergebnis war so merkwürdig, dass es die Autoren überraschte. Sie wiesen mehrmals auf diese Tatsache hin; Zum Beispiel in der Einleitung:

Angesichts der Tatsache, dass statistisches Nullwissen ein rechnerunabhängiger Begriff ist, ist es etwas seltsam, dass Eigenschaften darüber unter der Annahme der rechnerischen Unlösbarkeit bewiesen werden könnten.

PS: Ein stärkeres Ergebnis wurde später von Okamoto ( Über Beziehungen zwischen statistischen Null-Wissens-Beweisen ) bedingungslos bewiesen .

Beschreibung einiger Begriffe

Da das obige Ergebnis viel kryptografische Fachsprache enthält, versuche ich, jeden Begriff informell zu definieren.

1. $p$$p-1$
2. Nullwissen : Ein Protokoll, das polynomzeitbegrenzten Parteien kein Wissen liefert.
3. Statistisches Nullwissen: Ein Protokoll, das selbst für rechnerisch unbegrenzte Parteien keine Informationen liefert, außer mit vernachlässigbarer Wahrscheinlichkeit.
4. Honest-Verifier-Zero-Knowledge: Ein Protokoll, das polynomialzeitgebundenen Parteien kein Wissen liefert, wenn sie wie im Protokoll angegeben vorgehen.

Wie wäre es mit der Tatsache, dass Computing Permanent # P-Complete ist, aber eine Determinante für Computing - eine Art seltsame Operation, die zufällig in der Klasse NC liegt?

Das scheint ziemlich seltsam zu sein - es musste nicht so sein (oder vielleicht war es so ;-))

Das lineare Programmierproblem ist in (schwach) polynomieller Zeit lösbar. Dies scheint sehr überraschend: Warum könnten wir einen unter einer exponentiellen Anzahl von Eckpunkten eines hochdimensionalen Polytops finden? Warum könnten wir ein Problem lösen, das so lächerlich aussagt?

Ganz zu schweigen von den linearen Programmen mit Exponentialgröße, die wir mit der Ellipsoidmethode und den Trennungs-Orakeln und anderen Methoden (Hinzufügen von Variablen usw.) lösen können. Es ist zum Beispiel erstaunlich, dass eine LP mit einer exponentiellen Anzahl von Variablen wie der Karmakar-Karp-Relaxation von Bin Packing effizient approximiert werden kann.

Wenn ich Automaten unterrichte, frage ich meine Schüler immer, ob sie es überraschend finden, dass Nichtdeterminismus den Automaten mit endlichen Zuständen keine Macht verleiht (dh, dass es für jede NFA eine äquivalente - möglicherweise viel größere - DFA gibt). Etwa die Hälfte der Klassen berichtet, dass sie überrascht sind. [Ich selbst habe das "Gefühl" für das verloren, was auf der Intro-Ebene überraschend ist.]

$R\neq RE$

Ich habe das einfache Public-Key-Kryptosystem mit einem Double-Trapdoor-Entschlüsselungsmechanismus und seinen Anwendungen als paradox empfunden, da es sich um ein adaptiv ausgewähltes, verschlüsseltes, sicheres Schema handelt, das homomorph ist.