Probleme in nicht bekannt ist, dass sie sich in ?

Welche Probleme gehören bekanntermaßen zu aber nicht zu ?$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

Genauer gesagt, ich interessiere mich für unabhängige Probleme, bei denen nicht bekannt ist, dass ihre Derandomisierungen gleichwertig sind. Beispielsweise ist bekannt, dass die Derandomisierung von PIT und die multivariate Polynomfaktorisierung gleichwertig sind, und ich würde sie als nur ein Problem betrachten.

Die Motivation meiner Frage ist, dass es üblich ist zu sagen, dass "es in wenige Probleme gibt, von denen nicht bekannt ist, dass sie sich in "$\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$ , aber ich konnte keine Liste von ihnen finden. Insbesondere wenn ich Probleme in dieser Kategorie anführen muss, zitiere ich normalerweise die Faktorisierung von univariaten Polynomen über endliche Felder oder die Faktorisierung von multivariaten Polynomen. Ich nehme an, dass es Beispiele gibt, die sich nicht auf die Polynomfaktorisierung beziehen, zum Beispiel in anderen Bereichen wie der Graphentheorie oder der formalen Sprachtheorie.

PS: Ich finde es merkwürdig, dass es auf dieser Website noch keine ähnliche Frage gibt. Ich entschuldige mich, wenn ich es (oder sie) einfach nicht gefunden habe!

Wenn Sie nach unabhängigen Problemen fragen, wie wäre es mit:

Finden Sie eine prime im Intervall , finden zwei Primzahlen , deren Produkt in dem Intervall [ N , 9 N / 8 ] , finden drei Primzahlen , deren Produkt in dem Intervall $[N, 5N/4]$
$[N, 9N/8]$
, Finde vier Primzahlen, deren Produkt im Intervall liegt [ N , 33 N / 32 ] , Finde fünf Primzahlen, deren Produkt im Intervall liegt [ N $[N, 17N/16]$
$[N, 33N/32]$
, … .$[N, 65N/64]$
$\ldots$

Es ist überwältigend wahrscheinlich, dass Sie für alle einen Polynomalgorithmus hätten, wenn Sie tatsächlich einen Polynomalgorithmus hätten, um den ersten zu lösen. Aber ich verstehe nicht, wie ich eines davon formal auf eines der anderen reduzieren kann. Natürlich das Problem

Finde eine Primzahl im Intervall $[N, N+\log^{17} N ]$

löst alle diese.

Es gibt eine bestimmte Zufallsanwendung, die in der parametrisierten Komplexität ziemlich häufig ist und entweder das Isolations-Lemma oder das Schwartz-Zippel-Lemma umfasst . Grob gesagt bedeutet dies, eine große Aufzählung möglicher Lösungen zu definieren und zu argumentieren, dass alle Nicht-Lösungen "gepaart" werden (z. B. zweimal gezählt werden), während die gewünschten Lösungen nur einmal gezählt werden. Dann verwendet man entweder das Isolationslemma, um eine Situation mit nur einer kleinsten Lösung zu erzeugen, oder definiert ein großes entsprechendes formales Polynom über GF und verwendet Schwartz-Zippel, um zu testen, ob ein nicht gepaarter Term existiert. (Ich bin mir sicher, dass es da draußen einen guten Überblick oder eine gute Umfrage gibt, aber im Moment ist mir das ein Rätsel.)$(2^\ell)$

Ich kann mir jedoch nur zwei Fälle vorstellen, in denen diese Verwendung zu einem Unterschied zwischen BPP und P führen würde.

Der erste ist der aktuelle Algorithmus für die kürzesten zwei getrennten Pfade ( PDF des Autors ), Björklund und Husfeldt, ICALP 2014.

Die zweite ist ein parametrisiertes Problem: Finden Sie einen einfachen Zyklus durch eine Menge K spezifizierter Elemente in einem Graphen, dh so etwas wie ein Steiner-Zyklus-Problem. Wann , dieses Problem ist in BPP von Björklund, Husfeldt, Taslaman, SODA 2012 ( Link ). (Es gibt einen früheren deterministischen Algorithmus, aber seine Abhängigkeit von$|K|=O(\log n)$ ist exponentiell schlimmer.) Somit könnte man das Problem "log-Steiner-Zyklus" (oder wie auch immer Sie es nennen möchten) definieren, und es würde zu Ihrer Frage passen.$|K|$

Ich bin kein Experte, aber vielleicht einige (nicht so natürlich?) Beispiele direkt abgeleitet werden können , die Technik der deterministisch zu reduzieren mit BPP Suchprobleme zu BPP Entscheidungsprobleme , dargestellt in:

Oded Goldreich, In einer Welt von P = BPP. Studien in Komplexität und Kryptographie 2011: 191-232

Insbesondere siehe Satz 3.5: (Suche Entscheidung reduziert): Für jedes BPP-Suchproblem gibt es eine binäre Relation R , so dass R y e s ⊆ R ⊆ ( { 0 , 1 } ∗ × { 0 , 1 } ∗ ) ∖ R n $(R_{yes},R_{no})$$R$$R_{yes} \subseteq R \subseteq (\{0, 1\}^∗ \times \{0, 1\}^∗) \setminus R_{no}$ und Lösen des Suchproblems von $R$ist deterministisch auf ein Entscheidungsproblem bei BPP mit der Bezeichnung ) .$\Pi$. Darüber hinaus ist die zeitliche Komplexität der Reduktion linear in der wahrscheinlichkeitsabhängigen zeitlichen Komplexität der Lösungsfindung für , während die wahrscheinlichkeitsabhängige zeitliche Komplexität von Π das Produkt eines quadratischen Polynoms und der wahrscheinlichkeitsabhängigen ist zeitliche Komplexität des Entscheidungsverfahrens garantiert für ( R y e s , R n $(R_{yes},R_{no})$$\Pi$$(R_{yes},R_{no})$

Der Satz kann auf allgemeine Konstruktionsprobleme erweitert werden, zum Beispiel (siehe Folgerung 3.9 ). Betrachten Sie das Problem, eine Primzahl in einem ausreichend großen Intervall zu finden:

Für jeden festen , am Eingang N eine Primzahl in dem Intervall finden [ N , N + N $c > 7/12$$N$$[N, N + N^c]$

Der randomisierte Algorithmus wird in der erwarteten Polynomzeit ausgeführt. es ist kein deterministischer Polynomzeitalgorithmus bekannt; aber wenn BPP = P ist, muss ein solcher deterministischer Polynomzeitalgorithmus existieren (weil er auf ein BPP-Entscheidungsproblem reduziert werden kann).