Durchmesser von Cayley-Graphen von Untergruppen von

Babai und Seress haben bewiesen, dass bei einer Untergruppe und einem Generatorsatz S von G jede Permutation in G als Produkt von Generatoren und deren Inversen der Länge e ( 1 + o ( 1 ) ) $G \leq S_n$$S$$G$$G$ . Diese Grenze ist optimal, daSnein Element der Ordnunge(1+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$S_n$ .$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Die klassische Tatsache, dass jedes Element in höchstens e ( 1 + o ( 1 ) ) √ Ordnung hat$S_n$ , kombiniert mit dem Ergebnis von Babai und Seress, zeigt, dass bei einer UntergruppeG≤Snund einem ErzeugungssatzSvonGjede Permutation inGals Produkt von Generatoren mit einer Länge von höchstense2(1) geschrieben werden kann+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$G \leq S_n$$S$$G$$G$ .$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Können wir die Obergrenze e 2 ( 1 + o ( 1 ) ) √ verbessern ? bise(1+o(1))$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$ ?$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Diese Frage wurde von der jüngsten Frage Automata und einer Art Pump-Lemma zur Zustandsübergangsfunktion inspiriert .

Die Antwort lautet ja, wir können die Obergrenze auf verbessern$\mathrm{e}^{(1 + o(1))\sqrt{n\ln n}}$