Durchmesser von Cayley-Graphen von Untergruppen von


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Babai und Seress haben bewiesen, dass bei einer Untergruppe und einem Generatorsatz S von G jede Permutation in G als Produkt von Generatoren und deren Inversen der Länge e ( 1 + o ( 1 ) ) √ geschrieben werden kannGSnSGG . Diese Grenze ist optimal, daSnein Element der Ordnunge(1+o(1)) √ hate(1+o(1))nlognSn .e(1+o(1))nlogn

Die klassische Tatsache, dass jedes Element in höchstens e ( 1 + o ( 1 ) ) Ordnung hatSn , kombiniert mit dem Ergebnis von Babai und Seress, zeigt, dass bei einer UntergruppeGSnund einem ErzeugungssatzSvonGjede Permutation inGals Produkt von Generatoren mit einer Länge von höchstense2(1) geschrieben werden kann+o(1))e(1+o(1))nlognGSnSGG .e2(1+o(1))nlogn

Können wir die Obergrenze e 2 ( 1 + o ( 1 ) ) verbessern ? bise(1+o(1))e2(1+o(1))nlogn ?e(1+o(1))nlogn

Diese Frage wurde von der jüngsten Frage Automata und einer Art Pump-Lemma zur Zustandsübergangsfunktion inspiriert .

Antworten:


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Die Antwort lautet ja, wir können die Obergrenze auf verbesserne(1+o(1))nlnn

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