Darstellung der Booleschen Funktion durch ein Polynom

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Angenommen, wir haben eine boolesche Funktion aus . Es ist klar, dass ein reales multivariates Polynom so dass auf ist, multilinear sein kann. Was sind einige interessante Klassen von Booleschen Funktionen, für die der minimale Grad von $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ ist bekannt? Haben wir konkrete Beispiele?

boolean-functions

— T ....
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Siehe auch

— Andrej Bauer

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Wenn Sie nicht damit vertraut sind, gibt es viele Arbeiten zum "ungefähren Grad", bei denen gefragt wird, wie hoch der minimale Grad eines Polynoms ist, das

"approximiert" . Ich weiß nicht genug, um spezifische Referenzen zu geben, aber andere würden es tun.

f

$f$

— Usul

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$n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

$d$ $d2^d$ $d = 1$

— Yuval Filmus
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Dies ist ein nützlicher Punkt. Was ist eine gute Referenz für dieses Thema?

— T ....

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Sie können sich Ryan O'Donnells jüngstes Buch Analysis of Boolean functions ansehen.

— Yuval Filmus

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Klassen von Booleschen Funktionen mit eindeutiger mehrliniger Darstellung enthalten

Pseudo-Boolesche Funktionen über Real (Satz 1.34 [1])
$[0,1]^n$

Hintergrund

"Jede Boolesche Funktion kann durch eine disjunktive Normalform und durch eine konjunktive Normalform dargestellt werden." (Satz 1.4 (S.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

und ihre Anwendungen enthalten

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(Schaltungen) Komplexität der Booleschen Funktion der multi-linearen Polynomberechnung
(Fourier-Analyse) Untergrenzen für Polynome, die die Booleschen Funktionen berechnen

Verweise

[1] Theorie, Algorithmen und Anwendungen boolescher Funktionen (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

— hhh
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Ja offensichtlich. Wie beantwortet das die Frage?

— Emil Jeřábek