Wenn Polynom-GI Polynom (Rand) farbiger GI impliziert?

Crossposted von MO .

Der (kanten-) farbige Graphisomorphismus ist GI, der die Farben (der Kanten, wenn sie kantenfarben sind) beibehält.

Es gibt verschiedene Reduzierungen unter Verwendung von Transformationen / Gadgets von (kanten-) farbigem GI zu GI. Für kantenfarbene GI ist es am einfachsten, farbige Kanten durch ein GI-Erhaltungs-Gadget zu ersetzen, das die Farbe codiert (das einfache Unterteilen der Kanten ist der einfachste Fall). Fügen Sie für einen vertexfarbenen GI ein Gadget an einen Vertex an.

Angenommen, GI ist für einige Graphklassen Polynom . $C$

Q1 Für welches Polynom impliziert GI ein polynomiales (Kanten-) GI? $C$

Eine Reduktion mit Geräten verwenden , kann die Graphen nicht Mitglieder machen . $C$

Andererseits können bestimmte Gadgets / Transformationen die Diagramme zu Mitgliedern einer anderen polynomiellen GI-Klasse machen.

Beispiel einer Kantenfarbreduktion . $G \to G'$

Bilden Sie eine Clique von . Farbkanten in mit und Nichtkanten mit . Es ist die Färbefunktion, die bewahrt und um von nehmen Sie einfach die Kanten mit der Farbe . ist Clique, Cograph, Permutationsgraph und in vielen anderen schönen Klassen fast sicher. Wenn Sie die Kanten ungerade oft unterteilen (für unterschiedlich die Farben entfernt und perfekten zweigliedrigen Graphen, wobei der Isomorphismus erhalten bleibt). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

Möglicherweise besteht ein anderer Ansatz darin, den Liniendiagramm von und hängende (universelle) Eckpunkte hinzuzufügen, die mit Eckpunkten verbunden sind, die . $G'$ $E(G')$

F2 Gibt es nette Gadgets / Transformationen für ähnliche Konstruktionen?

Ich dachte darüber nach, planarisieren indem ich eine universelle Zeichnung der Clique auswähle und die Kantenüberquerung durch planare Geräte ersetze, die Farben bewahren, z. B. für gleiche Farben und etwas anderes für unterschiedliche Farben. Ich weiß nicht, ob dies den Isomorphismus bewahrt. $G'$ $C_4,C_6$

Ein anderer möglicher Ansatz könnte sein automorphism Färbung erhalten oder jede Kante der Unterteilung , Einsatz 3 Farben für die Vertices und versuchen , sich selbst zu erkennen , komplementäre Graphen von automorphism austauschen von und . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

F3 Kann die Automorphismusgruppe der Unterteilung von berechnet werden? $K_n$

Die Bestellungen nach den wenigen anfänglichen Bedingungen sind was A052565 ist $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima schlägt vor, dass dies für einfach genug sein könnte und die anfänglichen Begriffe Ausnahmen sind. $n$

$K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Das Papier über das Erkennen von Cayley-Graphen S. 86 fügte hinzu :

Bei einer Klasse C von Cayley-Graphen und einem kantenfarbenen Graphen G von n Eckpunkten und m Kanten interessiert uns das Problem, zu prüfen, ob es einen Isomorphismus φ gibt, der die Farben so bewahrt, dass G um φ zu einem Graphen isomorph ist in C durch die Elemente seines Stromaggregats gefärbt. In diesem Artikel geben wir einen O (m log n) -Zeitalgorithmus an, um zu überprüfen, ob G zu einem Cayley-Graphen farbisomorph ist.

Dies erscheint nahe an der Frage, ist es relevant?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— joro
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Es besteht eine Beziehung zu Hypergraphen. Farbige Kanten (u, v, c) können als Hyperedge behandelt werden, und es gibt einen Reduktionshypergraphen für die Grafik.

— Joro

F2: Ein schönes Beispiel ist das Diagrammbeschriftungs-Gadget, mit dem Folgendes bewiesen wird:

$\leq_T^L$

Siehe Thomas Thierauf, Fabian Wagner: Das Isomorphismusproblem für planare 3-verbundene Graphen befindet sich im eindeutigen Lograum. Theorie Comput. Syst. 47 (3): 655 & ndash; 673 (2010)

Das verwendete "Beschriftungs-Gadget" bewahrt die 3-Verbundenheits- und Planaritätsbeschränkungen.

— Marzio De Biasi
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Vielen Dank. Was ist mit den anderen Fragen?

— Joro

C

$\mathcal{C}$

Zu Q1: Wenn Sie die Frage interessant finden, stellen Sie sie. Oder bearbeiten Sie diese Frage mit Q1.1 , das Ihnen selbst zugeschrieben wird. Einige Gedanken beim Bier trinken :). (Rand-) Farbdiagramm erscheint mir trivial als Hypergraph. HGI ist so einfach wie GI über Reduktion IIRC. Einige Fälle von eingeschränkten Automorphismen sind NP-vollständig und einige sind polynomielle IIRC.

— joro

In der Frage wurde ein Artikel hinzugefügt, der relevant sein könnte.

— 17.

Teilantwort, verstehe nicht genug Gruppentheorie, aber zwei Arbeiten scheinen Teilergebnisse zu liefern.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Dieses Papier behauptet:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

Die genaue Definition von "kantenfarben" ist mir nicht klar.

Papier, das den zirkulierenden GI beweist, ist in einer Fußnote zu S. 1 polynomisch :

Mit einem Diagramm meinen wir ein gewöhnliches Diagramm, einen Digraphen oder sogar ein kantenfarbenes Diagramm

Auf MO gefragt, was die Einschränkungen für die Färbungen sind.

— joro
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