Klassifizierung von reversiblen Toren

Das von Emil Post im Jahr 1941 beschriebene Gitter von Post ist im Grunde genommen ein vollständiges Einschlussdiagramm von Mengen von Booleschen Funktionen, die unter Zusammensetzung geschlossen sind: zum Beispiel die monotonen Funktionen, die linearen Funktionen über GF (2) und alle Funktionen. (Post ging nicht davon aus, dass die Konstanten 0 und 1 kostenlos verfügbar sind, was sein Gitter viel komplizierter macht als sonst.)

Meine Frage ist, ob jemals etwas Analoges für klassische reversible Tore wie die Tore von Toffoli und Fredkin veröffentlicht wurde. Dh, welche Klassen reversibler Transformationen auf {0,1} ⁿ können durch eine Sammlung reversibler Gatter erzeugt werden? Hier sind die Regeln: Sie eine unbegrenzte Anzahl von Ancilla Bits sind erlaubt, einige Preset 0 und andere voreingestellt auf 1, solange alle die ancilla Bits werden wieder in ihre ursprünglichen Einstellungen , sobald Ihre Transformation von {0,1} ⁿ ist fertig. Außerdem ist ein SWAP von 2 Bits (dh eine Neuetikettierung ihrer Indizes) immer kostenlos verfügbar. Nach diesen Regeln konnten mein Schüler Luke Schaeffer und ich die folgenden zehn Transformationssätze identifizieren:

1. Das leere Set
2. Die Menge, die vom NOT-Gatter generiert wird
3. Die Menge, die von NOTNOT generiert wird (dh NOT-Gatter, die auf 2 der Bits angewendet werden)
4. Der von CNOT erzeugte Satz (dh das Controlled-NOT-Gatter)
5. Die von CNOTNOT erzeugte Menge (dh das 2. und 3. Bit umdrehen, wenn das 1. Bit 1 ist)
6. Der von CNOTNOT und NOT erzeugte Satz
7. Die Menge, die vom Fredkin-Gate (dh Controlled-SWAP) generiert wird
8. Der von Fredkin und CNOTNOT erzeugte Satz
9. Die Menge, die von Fredkin, CNOTNOT und NOT generiert wurde
10. Die Menge aller Transformationen

Wir möchten alle verbleibenden Familien identifizieren und dann nachweisen, dass die Klassifizierung vollständig ist - aber bevor wir viel Zeit damit verbringen, möchten wir wissen, ob es schon jemand getan hat.

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$Dies ist eine Darstellung der Hälfte einer Dualität für reversible Transformationen, analog zur Standard-Klon-Koklon-Dualität (wie hier ). Es beantwortet die Frage nicht, zeigt aber, dass alle geschlossenen Klassen solcher Funktionen durch die Erhaltung der Eigenschaften einer bestimmten Form bestimmt werden.

Im Gegensatz zum Standardfall besteht die Hauptkomplikation darin, dass Permutationen zählen können (sie behalten die Kardinalität bei), daher müssen ihre Invarianten ein wenig arithmetisch sein, um dies zu berücksichtigen.

Lassen Sie mich mit einer vorläufigen Terminologie beginnen. Fix eine endliche Basis - Set $A$ . (Im klassischen Fall fragt Scott nach, $A=\{0,1\}$ . Teile der Diskussion funktionieren auch für unendlich $A$ , aber nicht für die Hauptcharakterisierung.)

EIN Menge von Permutationen (oder: reversiblen Transformationen) ist eine Teilmenge $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ , wobei $\sym(X)$ die Gruppe von Permutationen von bezeichnet$X$ . EinPermutationsklonist eine Menge von Permutationen$\cC$ so dass

1. Jedes $\cC\cap\sym(A^n)$ wird unter Komposition geschlossen.

2. Für jeden $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ , die Permutation $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ , definiert durch $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ist in$\cC$.

3. Wenn $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ und $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ , die Permutation $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ , definiert durch$(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ ist in$\mathcal C$ .

Da A ist endlich, 1 bedeutet , dass C ∩ Sym ( A n ) eine Untergruppe von Sym ( A n ) . Das OP verlangt nur 2 für Transpositionen π , aber die Version hier ist eindeutig gleichwertig. Bedingung 3 entspricht dem, was ich in den obigen Kommentaren als Einführung von Dummy-Variablen bezeichnet habe.$A$$\cC\cap\sym(A^n)$$\sym(A^n)$$\pi$

Ein Master-Klon ist ein Permutationsklon unter Berücksichtigung von Ancillas:

4. Lassen $f\in\sym(A^{n+m})$ , $g\in\sym(A^n)$ , und $a\in A^m$ sein , so dass f ( x , a ) = ( g ( x ) , a ) für alle x ∈ A n . Dann f ∈ $f(x,a)=(g(x),a)$$x\in A^n$$f\in\cC$ bedeutet , g ∈ C .$g\in\cC$

Wir wollen Permutations- und Master-Klone durch bestimmte Invarianten charakterisieren. Lassen Sie mich letztere zunächst anhand einiger Beispiele zu A = { 0 , 1 } motivieren :$A=\{0,1\}$

• Der Master-Klon von Permutationen, der das Hamming-Gewicht beibehält (generiert vom Fredkin-Gate). Wenn w den Einschluss von { 0 , 1 } in N bezeichnet , sind diese Permutationen durch die Eigenschaft y = f ( x $w$$\{0,1\}$$\N$⟹n Σ i = 1 w(xi)= n Σ i = 1 w( y i ) , wobei f ∈ Sym ( A n ) ist und ich schreibe x = ( x 1 ,

  $$y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$$ $f\in\sym(A^n)$ , x n ).$x=(x_1,\dots,x_n)$

• Der in den Kommentaren erwähnte Master-Klon von Permutationen, die Hamming weight modulo fixed m beibehalten. Dies wird durch die gleiche Formel wie oben charakterisiert, wenn wir w als eine Funktion von { 0 , 1 } zur cyclischen Gruppe C ( m ) interpretieren und die Summe dort berechnen.$m$$w$$\{0,1\}$$C(m)$

• Der Hauptklon affiner Permutationen f ( x ) = M x ≤ b , M ≤ G L ( n , F 2 ) , b ≤ F n 2 (erzeugt durch CNOT). Man kann leicht überprüfen (oder aus dem Post-Fall wissen), dass eine Einzelausgangsfunktion 0 , 1 } → { 0 , 1 } durch w ( x 1 , x 2 , x 3 , $f(x)=Mx\oplus b$$M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$$b\in\mathbb F_2^n$ F n 2 → F 2 affin ist, wenn sie die Beziehung x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 beibehält. Wenn wir alsowdefinieren:$\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$$x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$$w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$ 4 ) = x 1 ⊕ x 2 ⊕ x 3 ⊕ x 4 , ein f ∈ Sym ( A n ) ist in dem Klon iff y ) ∧ ⋯ ∧ y 4 =

  $$w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$$ $f\in\sym(A^n)$ 1 = f ( x 1 ( x 4 )⟹n max i = 1 w(x 1 i ,...,x 4 i )= n max i = 1 w(y 1 i ,...,y 4 i ), es handelt sich also um Summen im Monoid({0,1},0, $$y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$$ ) .$(\{0,1\},0,\max)$

Im Allgemeinen ist eine Gewichtsfunktion eine Abbildung w : A k → M , wobei k ∈ N ist und M ein kommutatives Monoid ist. Eine Hauptgewichtungsfunktion bildet alle diagonalen k- Tupel ( a , … , a ) , a ∈ A auf invertierbare Elemente von M ab . Es sei W die Klasse aller Gewichtsfunktionen und$w\colon A^k\to M$$k\in\N$$M$$k$$(a,\dots,a)$$a\in A$$M$$\cI$ M W den Master Gewichtsfunktionen.$\cMI$

Wenn f ∈ Sym ( A n ) und w : A k → M eine Gewichtsfunktion ist, sagen wir, dass w eine Invariante von f ist , oder (ohne die Terminologie zu überdenken), dass f ein Polymorphismus von w ist , und schreiben Sie f ∥ w , wenn die folgende Bedingung für alle gilt ( x j i ) j = 1 .. k i = 1 .. n , ( y j $f\in\sym(A^n)$$w\colon A^k\to M$$w$$f$$f$$w$$f\pres w$ ) J = 1 .. k i = 1 .. n ∈An×k:$(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Wenn y 1 = f ( x 1 ) , ... , y k = f ( x k ) , dann ist n ∑ i = 1 w ( x i ) = n ∑ i = 1 w ( y i ) $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

$$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$$

Hier ist x j = ( x j 1 , ... , x j n ) , x i = ( x 1 i , ... , x k i ) und in ähnlicher Weise für y . Mit anderen Worten, f ∥ w, wenn f (oder vielmehr seine parallele Erweiterung zu ( A k ) n ) die Summe der w- Gewichte seiner Argumente beibehält.$x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$$x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$$y$$f\pres w$$f$$(A^k)^n$$w$

Die Beziehung ∥ zwischen P und W (oder M W ) induziert eine Galois-Verbindung zwischen Mengen von Permutationen C ⊆ P und Klassen von Gewichtsfunktionen D ⊆ W auf die übliche Weise: Pol ( D$\pres$$\cP$$\cI$$\cMI$$\cC\subseteq\cP$$\cD\subseteq\cI$

$$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$$ and thus a dual isomorphism between the complete lattices of closed sets of permutations, and closed classes of (master) weight functions, respectively. To see that we are on the right track, we observe that closed sets of permutations are indeed clones:

Lemma: If $\cD\subseteq\cI$, then $\pol(\cD)$ is a permutation clone. If $\cD\subseteq\cMI$, then $\pol(\cD)$ is a master clone.

Proof: The first assertion is more or less obvious. For the second, let $w\in\cD$, $f,g,a$ be as in condition 4 so that $f\pres w$, and let $(x_i^j),(y_i^j)$ be as in the definition of $g\pres w$. Put $\bar x^j=(x^j,a)$, $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$, and $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$. Then $f\pres w$ implies

$$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$$ However, $u_i$ are invertible in $M$ as $w$ is a master weight function, hence $$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$$

Before we proceed further, we need to fix one problem: monoids can be huge, hence invariants of this form can be rightly suspected of being useless abstract nonsense.

First, given a weight function $w\colon A^k\to M$, we can assume that $M$ is generated by $w(A^k)$ (and by additive inverses of images of diagonal elements in the master case), as other elements of $M$ do not enter the picture. In particular, $M$ is finitely generated. Second, by general results from universal algebra, we can write $M$ as a subdirect product

$$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$$ where each $M_i$ is subdirectly irreducible, and $M_i$ is a quotient of $M$ via the $i$th product projection $\pi_i$; in particular, it is still a finitely generated commutative monoid. By a result of Mal'cev, f.g. subdirectly irreducible commutative monoids (or semigroups) are in fact finite. The mapping $w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$ is again a weight function, master if $w$ was, and it is easy to see that $$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$$ Thus, we can without loss of generality restrict attention to weight functions $w\colon A^k\to M$, where $M$ is finite and subdirectly irreducible. Let $\mathcal{FW}$ be the class of such weight functions, and put $$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$$ Examples of finite subdirectly irreducible commutative monoids are the cyclic groups $C(p^d)$, and the truncated addition monoids $(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$. The general case is more complicated, nevertheless one can say a lot about their structure: one can write each in a certain way as a disjoint union of a $C(p^d)$, and a finite nilsemigroup with some properties. See Grillet for details.

Now we are ready for the main point of this post:

Theorem: The closed sets of permutations in the Galois connection to finite subdirectly irreducible (master) weight functions are exactly the permutation clones (master clones, resp.).

That is, if $\cC\subseteq\cP$, then the permutation clone generated by $\cC$ is $\pol(\inv(\cC))$, and the master clone generated by $\cC$ is $\pol(\minv(\cC))$.

Proof: In view of the preceding discussion, it suffices to show that if $\cC$ is a permutation clone, and $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$, there is an invariant $w\colon A^k\to M$ of $\cC$ such that $f\nparallel w$, and one can take $w$ to be a master weight function if $\cC$ is a master clone.

Put $k=|A|^n$, and let $F$ be the free monoid generated by $A^k$ (i.e., finite words over alphabet $A^k$). We define a relation $\sim$ on $F$ by

$$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$$ (Words of unequal length are never related by $\sim$.) Since each $\cC\cap\sym(A^m)$ is a group, $\sim$ is an equivalence relation (in fact, its restriction to words of length $m$ is just the orbit equivalence relation of $\cC\cap\sym(A^m)$ acting in the obvious way on $A^{mk}$). Moreover, $\sim$ is a monoid congruence: if $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ and $g'\in\sym(A^{m'})$ witness that $x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$ and $x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$, respectively, then $g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$ witnesses $x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$.

Thus, we can form the quotient monoid $M=F/{\sim}$. The swap permutation witnesses that $xy\sim yx$ for each $x,y\in A^k$; that is, the generators of $M$ commute, hence $M$ is commutative. Define a weight function $w\colon A^k\to M$ as the natural inclusion of $A^k$ in $F$ composed with the quotient map.

It is easy to see that $\cC\subseteq\pol(w)$: indeed, if $g\in\cC\cap\sym(A^m)$, and $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$, then

$$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$$ by the definition of $\sim$ (using the notation as in the definition of $\pres$). On the other hand, assume $f\pres w$. Let $\{a^j:j=1,\dots,k\}$ be an enumeration of $A^n$, $b^j=f(a^j)$, and let $a_i,b_i\in A^k$ for $i=1,\dots,n$ be again as in the definition of $\pres$. Then $$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$$ hence by the definition of $\sim$, there exists $g\in\cC\cap\sym(A^n)$ such that $g(a^j)=b^j=f(a^j)$ for each $j$. However, since the $a^j$ exhaust $A^n$, this means $g=f$, i.e., $f\in\cC$, a contradiction. This completes the proof for permutation clones.

Even if $\cC$ is a master clone, $w$ needn’t be a master weight function, in fact, the diagonal elements are not even necessarily cancellative in $M$, hence we need to fix it. For each $c\in A$, let $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$, and define a new equivalence relation $\approx$ on $F$ by

$$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$$ Using the fact that elements of $A^k$ commute modulo $\sim$, it is easy to show that $\approx$ is again a congruence, hence we can form the monoid $M'=F/{\approx}$, and a weight function $w'\colon A^k\to M'$. Since $\approx$ extends $\sim$, $M'$ is commutative, and a quotient of $M$; in particular, $\cC\subseteq\pol(w')$. On the other hand, if $f\pres w'$, then the same argument as above together with the definition of $\approx$ would give a $g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$, and $c_1,\dots,c_r\in A$ such that $$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$$ for all $x\in A^n$, thus $f\in\cC$ as $\cC$ is a master clone, a contradiction.

The definition of $\approx$ ensures that

$$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$$ for all $x,y\in F$, and $c\in A$. It follows that the elements $c^*/{\approx}=w'(c^*)$ are cancellative in $M'$. It is an easy well-known fact that any commutative monoid can be embedded in another one where all cancellative elements become invertible. The composition of such an embedding with $w'$ is then a master weight function $w''$, and $\pol(w')=\pol(w'')$, hence $w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$. QED

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EDIT: A generalization of the clone–coclone duality above is now written up in

[1] E. Jeřábek, Galois connection for multiple-output operations, preprint, 2016, arXiv:1612.04353 [math.LO].