So finden Sie interessante Forschungsprobleme

Trotz mehrjähriger Unterrichtsstunden bin ich bei der Auswahl eines Forschungsthemas immer noch ratlos. Ich habe mir Papiere aus verschiedenen Bereichen angesehen und mit Professoren gesprochen, und ich beginne zu denken, dass dies der falsche Ansatz ist.

Ich habe gelesen, dass es hilfreich ist, ein interessantes Problem zu finden (egal in welchem ​​Bereich) und dann daran zu arbeiten. Lehrbücher erwähnen berühmte ungelöste, aber ich möchte sie nicht direkt angehen. In den Forschungsarbeiten wurden nur positive Ergebnisse genannt, keine fehlgeschlagenen Versuche.

Wie finde ich interessante Forschungsprobleme? Wie finden Sie interessante Forschungsprobleme? Gibt es irgendwo eine Liste?

Wie entscheiden Sie, ob es sich lohnt, an einem bestimmten Problem zu arbeiten?

Ich bin absolut nicht einverstanden mit dem Ansatz, eine Liste offener Probleme zu finden. In der Regel sind offene Probleme nur schwer zu lösen, und ich bin absolut nicht davon überzeugt, dass gute Forschung durch die Lösung einiger schwieriger, aber uninteressanter Probleme in einem technischen Bereich erreicht wird.

Davon abgesehen ist die Lösung eines offenen Problems natürlich sehr gut für akademische Leistungen. Aber das fragen Sie nicht.

Forschung ist ein Prozess, der darauf abzielt, Verständnis auf hohem Niveau zu erzeugen . Die Lösung technischer Probleme ist ein Mittel, um dieses Ziel zu erreichen: Oft beleuchten das Problem und seine Lösung die Struktur oder das Verhalten eines wissenschaftlichen Phänomens (eine mathematische Struktur, eine Programmiersprachenpraxis usw.).

Mein erster Vorschlag lautet also: Finde ein Problem, das du verstehen willst. In der Forschung geht es grundsätzlich um Verwirrung. Gibt es bestimmte Themen, die Sie interessieren, für die Sie jedoch das Gefühl haben, ein grundlegend unvollständiges Verständnis zu haben, oder die Ihnen technisch klar erscheinen, für die Ihnen jedoch eine gute Intuition fehlt? Das sind gute Ausgangspunkte. Befolgen Sie die Ratschläge von Terry Tao und stellen Sie sich dumme Fragen! Aus diesen Überlegungen ergibt sich eine Menge guter Forschung. Tatsächlich enthält diese ganze Seite viele gute Ratschläge. Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie sich mit einem gut erforschten Problem oder Gebiet befassen, wahrscheinlich nicht sofort originelle Erkenntnisse erhalten. Lesen Sie daher die Literatur zusammen mit Ihren eigenen Erkundungen durch.

Zweitens: Diskontieren Sie nicht die Kommunikation mit Ihren Professoren. Fragen Sie sie nach ihrer eigenen Forschung, nicht unbedingt nach Projekten, die sie Ihnen geben möchten. Unterhalten Sie sich! Dies hilft Ihnen herauszufinden, woran Sie interessiert sind, aber auch, wie die Forschungslandschaft auf ihrem Gebiet aussieht. Forschung findet nicht im luftleeren Raum statt. Sie sollten daher mit Ihren Kommilitonen, Doktoranden in Ihrer Abteilung, Vorträgen und Workshops an Ihrer Universität usw. sprechen viel mehr als eine Liste oder ein bestimmtes Problem zu finden und sich in Ihrem Büro einzuschließen.

Schließlich würde ich vorschlagen, an etwas Kleinem zu arbeiten . Forschung ist mehr Bottom-up als Top-down, und es kommt selten vor, dass sich eine sehr einfache Aufgabe (das Schreiben eines Proofs oder eines Programms) als so einfach herausstellt, wie Sie es erwartet haben. Das Durchführen mehrerer kleiner Projekte, die nicht forschungsbezogen sind (Erweiterung der Hausaufgaben, Verfassen einer Erklärung zu dem, was Sie gelernt haben), führt häufig zu echten Forschungsarbeiten. Es ist üblich, am Anfang zu versuchen, "groß" zu werden, aber so funktioniert unser Gehirn gerade jetzt.

David Hilbert ist ein renommierter Mathematiker. Er stellte auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahr 1900 eine Liste von 23 ungelösten Problemen auf.
Ich möchte nur einen Teil des Interviews von Yuri Manin mit dem Titel "Gute Beweise sind Beweise, die uns weiser machen" über Hilbert und seine Liste zitieren :

Der diesjährige Internationale Kongress ist der letzte ICM in diesem Jahrhundert. Glaubst du, ein Hilbert ist noch möglich? Gibt es zeitgemäße Probleme, die Hilberts Problemen entsprechen?
Ich glaube nicht wirklich, dass Hilberts Liste in der Mathematik dieses Jahrhunderts eine große Rolle spielte. Für viele Mathematiker war es sicherlich psychologisch wichtig. Zum Beispiel erzählte Arnold, dass er als junger Doktorand die Liste der Hilbert-Probleme in sein Notizbuch kopiert und immer dabei hatte. Aber als Gelfand davon erfuhr, verspottete er Arnold tatsächlich darüber. Arnold betrachtete das Lösen von Problemen als wesentlichen Bestandteil großer mathematischer Erfolge. Für mich ist das anders. Ich sehe den Prozess der mathematischen Schöpfung als eine Art Erkennen eines bereits existierenden Musters. Wenn Sie etwas studieren - Topologie, Wahrscheinlichkeit, Zahlentheorie, was auch immer -, erwerben Sie zuerst eine allgemeine Vision des riesigen Territoriums und konzentrieren sich dann auf einen Teil davon. Später versuchen Sie zu erkennen, was da ist und was andere schon gesehen haben.
Liegt der Schwerpunkt auf Problemen, die eine Art romantische Sichtweise lösen: ein großer Held, der den Berg erobert?
Ja, irgendwie eine Art sportliche Sichtweise. Ich sage nicht, dass es irrelevant ist. Für junge Menschen ist es sehr wichtig, als psychologisches Mittel junge Menschen zu einer sozialen Anerkennung für großartige Leistungen zu bewegen. Ein gutes Problem ist die Verkörperung einer Vision eines großen mathematischen Verstandes, der die Wege, die zu einer gewissen Höhe führen, nicht erkennen konnte, aber der erkannte, dass es einen Berg gibt. Aber es ist weder eine Möglichkeit, Mathematik zu sehen, noch eine Möglichkeit, sie einer breiten Öffentlichkeit vorzustellen. Und es ist nicht das Wesentliche. Vor allem, wenn solche Probleme in die Liste aufgenommen werden, ist es so etwas wie eine Liste der Hauptstädte der großen Länder der Welt: Es vermittelt die minimal möglichen Informationen überhaupt. Ich glaube nicht wirklich, dass Hilbert dachte, dass dies die Art ist, Mathematik zu organisieren.

Dies ist letztendlich eine subjektive und persönliche Frage und "auf lange Sicht", welche Probleme bis zu einem gewissen Grad als wichtig angesehen werden, aber es kann einige grobe gemeinsame Richtlinien geben, denen viele zustimmen würden, und auch Top-Experten überlegte die Frage. Probleme sind allgegenwärtig und es ist eher ein Prozess, sie einzugrenzen.

• Die Nummer 1 auf der Liste ist fast immer, sprechen Sie mit Ihrem Berater! Es ist Teil ihres Jobs und wenn er / sie keine Ideen hat, dann ist das vielleicht kein gutes Zeichen.

• An was arbeiten viele Menschen an Ihrer Universität? Jede Universität hat in der Regel bestimmte Spezialisierungen und es wird Begeisterung oder sogar Aufregung für bestimmte Bereiche / Probleme geben.

• Schauen Sie sich die Auszeichnungen auf dem Gebiet an, um zu sehen, welche Bereiche sie studieren oder welche Preise sie erhalten. in TCS seine Turing-Auszeichnung , Godel-Preis , Nevanlinna-Preis , Millenium-Preis . Offensichtlich sind dies Arbeiten für Spitzen- / Durchbruchsarbeiten, aber von Natur aus umfassen sie alle große Bereiche, in denen inkrementelle Arbeiten durchgeführt werden.

• top TCS-Blogs sind eine großartige Quelle, um das Interesse der Community an verschiedenen Problemen zu wecken.

auch um diese frage zu beantworten, kann es aufschlussreich sein, im folgenden sinne "zurück zu den wurzeln" zu gehen. Einer der legendären Meister auf diesem Gebiet ist Hilbert, der Mathematiker, und viele seiner grundlegenden Ideen zur Problemauswahl sind es wert, überprüft / studiert zu werden. Viele seiner offenen Probleme , die die Mathematik um die Jahrhundertwende trieben, hatten erstaunliche / tiefe Verbindungen zur algorithmischen Theorie, z. B. Unentscheidbarkeit, z. B. Godels Thm, das Halting-Problem und das zentrale 10. Problem . seine Ansichten werden von Lagarias, Abschnitt 9, in der Bewertung der Collatz-Vermutung als "gutes Problem" zusammengefasst:

Es ist schwierig und oft unmöglich, den Wert eines Problems im Voraus richtig zu beurteilen. denn die endgültige Auszeichnung hängt von dem Gewinn ab, den die Wissenschaft durch das Problem erzielt. Dennoch können wir fragen, ob es allgemeine Kriterien gibt, die ein gutes mathematisches Problem kennzeichnen. Ein alter französischer Mathematiker sagte: „Eine mathematische Theorie ist erst dann als vollständig anzusehen, wenn Sie sie so deutlich gemacht haben, dass Sie sie dem ersten Mann erklären können, dem Sie auf der Straße begegnen.“ Diese Klarheit und Verständlichkeit bestand hier darauf für eine mathematische Theorie sollte ich noch mehr nach einem mathematischen Problem verlangen, wenn es perfekt sein soll; Denn was klar und leicht zu verstehen ist, zieht an, das Komplizierte stößt uns ab. Außerdem sollte ein mathematisches Problem schwierig sein, um uns zu locken, aber nicht völlig unzugänglich. Damit wir uns nicht über unsere Bemühungen lustig machen. Es sollte für uns ein Wegweiser auf den Irrwegen zu verborgenen Wahrheiten sein und letztendlich an unsere Freude an der erfolgreichen Lösung erinnern.

Lagarias fasst diese Elemente wie folgt zusammen:

1. Ist das Problem klar und einfach ausgedrückt?
2. Ist das ein schwieriges Problem?
3. Scheint es zugänglich zu sein und nicht "unsere Bemühungen zu verspotten, es zu lösen"?

Unglücklicherweise scheitern viele offene Probleme auf # 3, aber wie bereits erwähnt, gibt es immer Probleme und Entspannungen in der Nähe, die als leichter zugänglich angesehen werden, und selbst das bloße Formulieren dieser Entspannungen kann als Teil einer gültigen Forschung betrachtet werden.