Was ist der Wert dieses „Spiels“ (Counter Rebalancing)?

Diese Frage wurde vor zwei Wochen in CS.SE veröffentlicht , aber nicht zufriedenstellend beantwortet.

Angenommen, Sie haben das folgende Spiel:

Es gibt unendlich viele Zähler , die alle auf 0 initialisiert sind.$\{c_1,c_2,\ldots\}$

In jedem Schritt wählen Sie einen Zähler und erhöhen seinen Wert um 1.$c_i$

Leider wird jeder Schritt, jeder Zähler, der einen positiven Wert hat, um 1 dekrementiert.$T$

Außerdem sind die Werte der Zähler durch begrenzt , sodass Sie einen Zähler nicht weiter erhöhen können.$M$

1. Können Sie bei so vielen Schritten, wie Sie möchten, viele positiv bewertete Zähler erreichen?

2. Wie viele positiv bewertete Zähler sind nach Schritten erreichbar?$T\cdot M - 1$

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Für Frage (1) ist hier ein detaillierter Aufbau für positive Zähler:$\approx T\log(M)$

1. Während Sie weniger als Zähler mit dem Wert M haben : $T-1$$M$
   • Erhöhen Sie den minimalen Indexzähler, dessen Wert streng kleiner als .$M$

(Dies muss konvergieren, da die Summe der Zähler alle Schritte erhöht werden muss .)$T$

2. Lassen .$r = T$

3. Während ( )$c_0>1$

   ein. während ( )$c_0>c_r$

   • Inkrement $c_r$

   b. $r = r + 1$

Nun zur Analyse: Die erste Beobachtung ist, dass die Anzahl der positiven Zähler .$r$

Nun sei der Maximalwert, den c r erreicht hat. Für r = T erhalten wir M ( 1 - $m_r$$c_{r}$$r=T$. Fürr=T+1 erhaltenwirmr(1-$M(1-\frac{1}{T})$$r=T+1$oder im Allgemeinen∀r≥T:mr=M(1-$m_r(1-\frac{1}{T})=M(1-\frac{1}{T})^2$

$$\forall r\geq T:m_r = M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1}$$

Als nächstes bemerken wir, dass, wenn erreicht ist, c 0 = m r ist . Dies bedeutet, dass die Schleife angehalten wird, wenn m r < 1 ist (Integrität geben oder nehmen und Strategien am Ende des Spiels).$\forall m_r$$c_0=m_r$$m_r < 1$

Dies gibt uns (1-

$$M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < 1$$ $$(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < M^{-1}$$ $$({r-T+1}) \log (1-\frac{1}{T}) < -\log M$$ $${r-T+1} < \frac{-\log M}{\log (1-\frac{1}{T})}$$ $$r < \frac{-\log M}{\log (1-\frac{1}{T})} + T - 1$$ $$r < \frac{\log M}{\sum_{k\geq 1}^{\infty} {\frac{1}{kT^k}}} + T - 1 < T(\log M + 1) -1$$

Kann man es besser machen? Kann jemand beweisen, dass dies optimal ist?

Untergrenze für Frage 2:

$TM-1$$(T-1)\log M$

$1$$TM-1$$TM-1$$Tk$$1 \le k < M$

$M- \lfloor N/T \rfloor$$N$$1$$1$$TM-1$

Strategie: Erhöhen Sie bei jedem Zeitschritt den Zähler ganz links, dessen Wert unter der Obergrenze liegt.

$V/UL$$UL$

$T$$(T-1)/UL$$UL$

$1/UL$$UL/UL=1$$1/UL$$1$$UL$$T$$1$$(T-1)/UL$$T-1$$(T-1)/UL$

$T$$T-1$$(T-1)/UL$$TM-1$$\sum_{k=1}^m(T-1)/k$$(T-1)\log M$$TM-1$$1$$(T-1)\log M$

Hier ist eine Obergrenze für Frage 2.

$TM$$T \log M$

$0$$(-TM+1)$

$0$

$1$$T$$\frac{1}{2}$$T$$\frac{1}{3}$$T$$-kT+1$$-(k-1)T$$\frac{1}{k}$

$1$

$T \sum_{i=1}^M \frac{1}{i} \approx T \log M$$1$

$-kT$$-(k-1)T$$k-1$$k$$\frac{1}{k}$

$\frac{1}{k}$$-kT+1$$-(k-1)T$$\frac{1}{M}$$-2MT$$-MT$$0$$0$$-2MT$$1$$-2MT$$1$$M$$T\log M + T$$T (\log M + 1)$