Welche bemerkenswerten Automatenmodelle haben einen polynomisch entscheidbaren Einschluss?

Ich versuche, ein bestimmtes Problem zu lösen, und dachte, ich könnte es mithilfe der Automatentheorie lösen. Ich frage mich, welche Automatenmodelle haben eine Einschließung, die in der Polynomzeit entscheidbar ist? dh wenn Sie Maschinen , können Sie testen, ob effizient ist.$M_1, M_2$$L(M_1) \subseteq L(M_2)$

Die offensichtlichen, die in den Sinn kommen, sind DFAs und umkehrgebundene Zählerautomaten, bei denen die Anzahl der Zähler festgelegt ist (siehe dieses Dokument ).

Welche anderen bemerkenswerten Klassen können zu dieser Liste hinzugefügt werden?

Je leistungsfähiger die Automaten, desto besser. Zum Beispiel reichen DFAs nicht aus, um mein Problem zu lösen, und die Counter-Maschinen können dies nicht mit einer festen Anzahl von Countern tun. (Wenn Sie zu mächtig werden, ist die Eindämmung natürlich entweder für NFAs unlösbar oder für CFGs unentscheidbar.)

Sichtbare Pushdown-Automaten (oder Automaten mit verschachtelten Wörtern , wenn Sie lieber mit verschachtelten Wörtern als mit endlichen Wörtern arbeiten) erweitern die Ausdruckskraft deterministischer endlicher Automaten: Die Klasse der regulären Sprachen ist ausschließlich in der Klasse der sichtbaren Pushdown-Sprachen enthalten. Für deterministische sichtbare Pushdown-Automaten kann das Spracheinschlussproblem in Polynomzeit gelöst werden. Weitere Einzelheiten finden Sie in dem Artikel von Alur und Madhusudan, insbesondere in Kapitel 6.

Übrigens ist die nicht deterministische Variante von Automaten mit sichtbarem Pushdown exponentiell prägnanter als die deterministische Variante, aber dort ist das Problem der Sprachinklusion EXPTIME-vollständig und damit unlösbar.

Alur, R .; Madhusudan, P. (2009). Msgstr " Verschachtelungsstruktur zu Wörtern hinzufügen ". Zeitschrift der ACM 56 (3): 1–43.

Befinden sich unendliche Wörter in Ihrem Gültigkeitsbereich, können Sie DFA (mit Paritätsbedingung) auf die sogenannten Good-for-Games-Automaten (GFG) verallgemeinern, die immer noch eine polynomielle Begrenzung aufweisen.

Ein NFA ist GFG, wenn es ein Strategie , das unter Berücksichtigung des bisher gelesenen Präfixes und des aktuellen Status und Buchstabens einen Übergang zum nächsten Status wählt. Die Strategie muss sicherstellen, dass für jedes in der Sprache des Automaten der von on ausgegebene Lauf akzeptiert wird.σ w σ $\sigma:A^*\times Q\times A\to \Delta$$\sigma$$w$$\sigma$$w$

Das Containment für diese Automaten ist in P für eine feste Paritätsbedingung (durch Reduzieren auf Paritätsspiele) und in Quasi-P, wenn der Paritätsindex Teil der Eingabe ist. Sie können exponentiell kleiner sein als jedes äquivalente DFA [3].

Bei endlichen Wörtern handelt es sich jedoch nur um DFAs mit möglicherweise unbrauchbaren zusätzlichen Übergängen, sodass sie nichts wirklich Neues bringen.

Hier einige Referenzen:

[1] Lösen von Spielen ohne Bestimmung , Henzinger, Piterman, in CSL 2006

[2] Nichtdeterminismus in Gegenwart einer vielfältigen oder unbekannten Zukunft , Böker, Kuperberg, Kupferman, Skrzypczak, in ICALP 2013

[3] Zur Bestimmung von Good-for-Games-Automaten , Kuperberg, Skrzypczak, in ICALP 2015

Ein nicht deterministischer XOR-Automat (NXA) passt zu Ihrer Frage.

Ein NXA ist im Wesentlichen ein NFA, aber ein Wort wird in wenn es von einer ungeraden Anzahl von Pfaden akzeptiert wird (X- oder Relation), anstatt akzeptiert zu werden, wenn es ein Akzeptieren gibt Pfad dafür (oder Beziehung).w ∈ Σ ∗ L ( M $M$$w\in \Sigma^*$$L(M)$

NXAs werden zum Erstellen kleiner Darstellungen regulärer Sprachen sowie einiger parametrisierter Algorithmen verwendet.

In einem Ergebnis von 2009 gaben$O(|Q|^3$ Vuillemin und Gama einen effizienten ) -Algorithmus für die NXA-Minimierung an, der verwendet werden kann, um zu beantworten, ob .$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

Lassen Sie mich zuerst erwähnen, dass Ihr Problem nicht symmetrisch ist und dass, wenn ein NFA und ein DFA ist, das Einschlussproblem polynomisch ist (einfach, weil es sich darauf beläuft, zu testen, ob das Komplement von schneidet ).M 2 L ( M 2 ) L ( M 1$M_1$$M_2$$L(M_2)$$L(M_1)$

Es ist eine wichtige und nicht-triviale Verallgemeinerung dieses Ergebnisses: wenn ist nicht mehrdeutig (über jeden Eingang gibt es höchstens einen Lauf zu akzeptieren). Dieses Ergebnis ist in [SH85] belegt, hat aber auch interessante Verbindungen zu Schützenbergers Arbeit [S61] und als Konsequenz mit NXA, wie in der obigen Antwort erwähnt. (Lassen Sie mich Jacques Sakarovitch dafür danken, dass er es mir gezeigt hat).$M_2$

Lassen Sie mich einen Beweis für dieses Ergebnis skizzieren.

M $M_1$$M_2$$M_2$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

Beweis.
Schritt 1: Dies reduziert sich auf die Universalität eindeutiger Automaten.

$M_1$$M_1$

$L(M_1)\subseteq L(M_2)$$L(M_2)\cup L(M_1)^c$

Schritt 2: Es kommt vor, dass eindeutige Automaten als NXA-Automaten (nicht deterministische XOR-Automaten im vorherigen Beitrag von RB) angesehen werden können, ohne dass die Bewertung geändert werden muss (in der Tat entspricht eine Disjunktion über alle Accpeting-Läufe einem xor über alle Accepting-Läufe.) läuft, da es höchstens einen solchen Lauf gibt). Für diese Automaten ist Universalität als Polynom (QED) bekannt.

$Z/2Z$

[SH85] Richard E. Stearns und Harry B. Hunt III. Zu den Äquivalenz- und Containment-Problemen für eindeutige reguläre Ausdrücke, reguläre Grammatiken und endliche Automaten. SIAM J. Comput., 14 (3): 598 & ndash; 611, 1985.

[S61] Schützenberger, MP: Zur Definition einer Automatenfamilie. Information and Control 4, 245–270 (1961)

Reguläre LL (k) -Grammatiken (dh Grammatiken, die sowohl LL (k) als auch regulär sind ) können in Polynomzeit in äquivalente deterministische endliche Automaten konvertiert werden, und somit können Spracheinschließung und -äquivalenz in PTIME gelöst werden. Siehe Satz 4.2 in der folgenden Abhandlung (und die Ergebnisse danach für eine Anwendung dieser Beobachtung auf Programmschemata).

Harry B. Hunt III: Beobachtungen zur Komplexität von Problemen mit regulären Ausdrücken , Journal of Computer and System Sciences 19, 222-236 (1979)