Schnelles Auffinden von Leerzeichen, die Nicht-Terminals in einem CFG produzieren

Für eine gegebene kontextfreie Sprache G nennen wir ein Nicht - End NULLABLE wenn A i → * ε , dh wir den leeren String aus ableiten können A i nach einer endlichen Anzahl von Produktionen Anwendung.$A_i$ $A_i \rightarrow^* \epsilon$$A_i$

Es gibt einen einfachen Algorithmus zum Bestimmen, welche Nichtterminale einer Grammatik nullbar sind, wie hier zu finden ist :

Wir beginnen damit, dass wir alle Nicht-Terminals als nicht nullwertfähig betrachten. Wir markieren alle als nullbar, wenn es eine Produktion A i → ϵ gibt . Wir durchlaufen dann alle anderen Produktionen A i → B 1 B 2 … B k mit Ausnahme von Produktionen mit einem Terminal darin und markieren A i als nullbar, wenn alle B i nullbar sind. Wir machen diese Schleife so lange, bis wir eine Schleife beendet haben, ohne Nichtterminale als nullbar zu markieren.$A_i$$A_i \rightarrow \epsilon$$A_i \rightarrow B_1 B_2 \dots B_k$$A_i$$B_i$

Mein Problem mit diesem Algorithmus ist, dass er eine Laufzeit von hat: Ein schlimmster Fall ist zum Beispiel A 1 → A 2 , A 2 → A 3 , A 3 → A 4 , ..., A n - 1 → A n , A n → ϵ .$O(n^2)$$A_1 \rightarrow A_2$$A_2 \rightarrow A_3$$A_3 \rightarrow A_4$$A_{n-1} \rightarrow A_n$$A_n \rightarrow \epsilon$

Gibt es einen Algorithmus für dieses Problem mit einer besseren Laufzeit als ?$O(n^2)$

Kann man diesen Algorithmus nicht wie folgt in linearer Zeit implementieren? (Warnung, ich habe dies nicht zu sorgfältig Korrektur gelesen, daher sind Fehler wahrscheinlich.)

$i$$c_i$$Q$$c_i$$i$$Z$$i$$c_i=0$$Z$$Q$$Z$

$Q$$X$$Q$$j$$X$$c_j$$c_j$$Y$$Y$$Y$$Q$