Gibt es effiziente allgemeine Bonferroni-Schranken?

Ein klassisches Problem in der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in spezifischeren Ereignissen auszudrücken. Im einfachsten Fall kann man sagen: $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ . Lassen Sie uns schreiben $AB$ für den Fall $A \cap B$ .

$P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

Die Abhängigkeitsstruktur der Ereignisse kann als gewichteter Hypergraph mit Eckpunkten , wobei das Gewicht einer Kante die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses darstellt, das mit dem Schnittpunkt der Eckpunkte in der Kante zusammenhängt. $A_i$

Ein Einschluss-Ausschluss-Argument berücksichtigt immer größere Teilmengen von Ereignissen zusammen. Diese ergeben die Bonferroni-Grenzen . Diese Grenzen verwenden alle Gewichte für Kanten bis zu einer Größe von . $k$

Wenn die Abhängigkeitsstruktur "nett genug" ist, kann das Lovász Local Lemma verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit von den Extremwerten 0 und 1 weg zu begrenzen. Im Gegensatz zum Bonferroni-Ansatz verwendet die LLL ziemlich grobe Informationen über die Abhängigkeitsstruktur.

Nehmen wir nun an, dass relativ wenige Gewichte in der Abhängigkeitsstruktur nicht Null sind. Angenommen, es gibt viele Ereignisse, die paarweise unabhängig und dennoch nicht unabhängig sind (und allgemeiner ist es durchaus möglich, dass eine Menge von Ereignissen nicht voneinander unabhängig ist, sondern für jedes weise unabhängig ist ). $k$ $r$ $r < k$

Ist es möglich, die Abhängigkeitsstruktur von Ereignissen explizit zu verwenden, um die Bonferroni / Kounias-Grenzen auf eine Weise zu verbessern, die effizient berechnet werden kann?

Ich erwarte, dass die Antwort ja lautet, und würde mich über Hinweise auf Referenzen freuen. Ich kenne Jägers Artikel von 1976, aber er befasst sich nur mit paarweisen Abhängigkeiten. Hunter berücksichtigt das Überspannen von Bäumen in der Grafik, die durch Ignorieren der Kanten in der Abhängigkeitsstruktur der Größe 3 oder höher gebildet wird.

David Hunter, Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit einer Union , Journal of Applied Probability 13 597–603. http://www.jstor.org/stable/3212481

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— András Salamon
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Ich denke, Sie finden die Antwort in der Veröffentlichung "Approximate Inclusion-Exclusion" von Linial und Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
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Dies sieht sehr relevant aus (offizieller Link ist link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); Es gibt auch ein Follow-up link.springer.com/article/10.1007/BF01271266 von Jeff Kahn, Nathan Linial und Alex Samorodnitsky.

— András Salamon