Gibt es noch offene Probleme mit DFAs?

Nachdem ich deterministische Finite-State-Automaten (DFA) im Grundstudium studiert hatte, fühlte ich mich sehr gut verstanden. Meine Frage ist, ob es etwas gibt, das wir noch nicht verstehen. Ich meine nicht Verallgemeinerungen von DFAs, sondern die ursprünglichen, nicht modifizierten DFAs, die wir in der Grundausbildung studieren.

Dies ist eine vage Frage, aber ich hoffe, dass Sie auf die Idee kommen. Ich möchte verstehen, ob es fair ist zu sagen, dass wir DFAs vollständig verstehen. Ich meine also wirklich Fragen, die sich inhärent auf DFAs beziehen, und keine Probleme, die künstlich wie ein Problem mit DFAs aussehen. Lassen Sie mich ein Beispiel für ein solches Problem geben. Sei L die leere Sprache, wenn P = NP und eine feste nicht reguläre Sprache, wenn P nicht NP ist. Kann L von einem DFA akzeptiert werden? Bei dieser Frage geht es um DFAs, aber nicht um sie im Geiste. Ich hoffe mein Standpunkt ist klar und ich bekomme keine pedantischen Antworten von Leuten.

Kurz gesagt ist es fair zu sagen

Wir verstehen DFAs im Wesentlichen vollständig.

Es tut mir leid, wenn sich herausstellt, dass dies ein riesiges Forschungsgebiet ist, von dem ich nichts wusste und das ich gerade eine ganze Gemeinschaft von Menschen beleidigt habe.

Hier ist ein Problem beschrieben in dem Buch "Ein zweiter Kurs in formalen Sprachen und Automatentheorie" von Shallit.

Sei und v zwei verschiedene Wörter mit | u | = | v | = n . Was ist die Größe des kleinsten DFA , die akzeptiert u lehnt aber v , oder umgekehrt?$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Robson, in seinem Vortrag " Die Trennung Saiten mit kleinen Automaten " im Jahr 1989 erwies sich als eine obere Schranke . Die bekannteste Untergrenze in Ω ( log n ) .$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Eine Übersicht finden Sie hier .

Hier ist ein sehr einfaches Entscheidungsproblem für DFAs. Akzeptiert M bei gegebenem DFA M die Basis-2-Darstellung von mindestens einer Primzahl?

Derzeit wissen wir nicht einmal, ob dieses Problem rekursiv lösbar ist.

Wenn es rekursiv lösbar ist und wir einen Algorithmus dafür hatten, könnten wir das seit langem offene Problem lösen, ob es Fermat - Primzahlen (Primzahlen der Form ) gibt, die größer sind als die größte bekannte, 65537. (Weil Jede Primzahl mit Basis-2-Darstellung der Form 1 0 + 1 muss eine Fermat-Primzahl sein.)$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

Ich möchte auf ein weiteres Forschungsproblem hinweisen, das das Zusammenspiel sehr grundlegender Konzepte zu DFAs betrifft.

$2^n$$2^n$

Problem mit magischen Zahlen

$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

$\alpha$$\alpha$

$1$$3$

Galina Jirásková. Magische Zahlen und ternäres Alphabet. In: 13. Internationale Konferenz über Entwicklungen in der Sprachtheorie (DLT 2009), Band 5583, Lecture Notes in Computer Science, Seiten 300–311.

Titel: Schnittpunkt-Nicht-Leerheit für zwei DFAs

$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

Offenes Problem: Können wir die Nicht-Leerheit der Kreuzung für zwei DFAs in lösen?$o(n^2)$

Wenn wir dieses Problem in lösen könnten$O(n^{\delta})$$\delta$

Erklärung: Entscheidung über die Leere der Überschneidung regulärer Sprachen in subquadratischer Zeit

Dies könnte hilfreich sein: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

Ich wünsche ihnen einen wunderbaren Tag! :)

Hier ist ein offenes Problem in Bezug auf DFA und Theorie des maschinellen Lernens: Sind DFAs im PAC-Modell einheitlich zufällig lernbar (zufällige Übergänge und Akzeptanz- / Zurückweisungsverhalten)?

Hinweis: Wir glauben, dass willkürliche DFAs aufgrund der Ergebnisse der kryptografischen Härte nicht lernbar sind . Für zufällige DFA haben wir nur SQ-Untergrenzen , die nicht so stark sind.

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

Es scheint mir, dass eine geschlossene Formel existieren sollte, aber keine ist bekannt. Einige asymptotische Grenzen sind bekannt:

$n$

Hier ist eine DFA-bezogene Frage, die ich zuvor hier gestellt habe. Soweit ich weiß, ist sie noch offen:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$ .

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Diese Frage hat Auswirkungen auf das maschinelle Lernen .

("Denken über den Tellerrand" ...) Hierbei handelt es sich um ein Problem, das sich mit DFAs befasst (ich habe es noch nicht anderswo gesehen). In TCS manifestiert sich jedoch ein Thema, bei dem selbst viele scheinbar "einfache" Computerobjekte (wie DFAs) komplexe Eigenschaften haben können , auch ein Aspekt / Thema, das im Satz von Rices enthalten ist. (In gewisser Weise ist die ultimative "Komplexität" "Unentscheidbarkeit", auch bekannt als Turing-Vollständigkeit.)

$n$$x$$n$$x↑n$ ein RE (und damit auch ein DFA). Dieser Operator wird in verschiedenen Zusammenhängen und bei einigen wichtigen Problemen berücksichtigt, z. B. einem der ersten Probleme, die sich als EXPSPACE-vollständig erwiesen haben. [1] [2]

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$ wiederholten Instanzen von xist auch ein RL (und ein DFA).

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

Nun, um dies besser mit der Frage in Verbindung zu bringen, obgleich dies nicht allgemein zur Kenntnis genommen wird (was von einigen als trivial angesehen wird), sind viele offene Probleme in TCS / Mathematik eng mit der Unentscheidbarkeit verbunden, da sie ein Orakel für das Stopp-Problem sind. " gelöst ".

In gewissem Sinne wird es daher immer offene Probleme mit DFAs geben, wenn dies alles unter Verwendung dieses grundlegenden Problems mit DFAs, das unentscheidbar ist, zusammengeführt wird , da es immer "offene" Probleme mit DFAs (wie diesem) geben wird, die mit unentscheidbaren Problemen äquivalent sind . Tatsächlich kann mit dem Rices-Theorem in umgekehrter Richtung, wie dies in gewisser Weise der Fall ist, jede relativ "einfache", aber nicht triviale Recheneigenschaft in TCS verwendet werden, um unentscheidbare Probleme zu konstruieren.

[1] Wortprobleme, die exponentielle Zeit erfordern / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR und L. Stockmeyer. Das Äquivalenzproblem für reguläre Ausdrücke mit Quadratur erfordert Exponentialraum. 13. IEEE-Symposium über Vermittlung und Automatentheorie, Oktober 1972, S. 125–129.

[3] Einführung in Sprachen, Automaten und Berechnungen / Hopcroft / Ullman.