Unterscheidung zwischen zwei Münzen

Es ist bekannt , dass die Komplexität der eine Unterscheidung voreingenommen Münze aus einer Messe ist . Gibt es Ergebnisse zur Unterscheidung einer Münze von einer Münze? Ich kann sehen, dass für den Spezialfall von die Komplexität . Ich habe die Vermutung, dass die Komplexität davon abhängt, ob in der Größenordnung von , aber nicht so streng beweisen kann. Irgendwelche Hinweise / Referenzen?$\epsilon$$\theta(\epsilon^{-2})$$p$$p+\epsilon$$p=0$$\epsilon^{-1}$$p$$\epsilon$

Ich schlage vor, dass Sie das Framework verwenden, das in folgendem Papier enthalten ist:

Wie weit können wir über die lineare Kryptoanalyse hinausgehen? , Thomas Baignères, Pascal Junod, Serge Vaudenay, ASIACRYPT 2004.

Das entscheidende Ergebnis besagt, dass Sie n ∼ 1 / D ( D 0 benötigen , wobei D ( D $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$ ist der Kullback-Leibler-Abstand zwischen den beiden Verteilungen D 0 und D 1 . Wenn wir die Definition der KL-Distanz erweitern, sehen wir das in Ihrem Fall$D(D_0 \,||\, D_1)$$D_0$$D_1$

$$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$$

mit der Konvention, dass .$0 \log \frac0p = 0$

Wenn finden wir D ( D $p \gg \epsilon$ . Wenn also p » ε ,finden wirdass Sie brauchen n ~ p ( 1 - p ) / ε 2 Münzwürfe. Wenn p = 0 ist , finden wir D ( D $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$$p \gg \epsilon$$n \sim p(1-p)/\epsilon^2$$p = 0$ , so müssen Sie n ~ 1 / ε Münzwürfe. Somit stimmt diese Formel mit den Sonderfällen überein, die Sie bereits kennen ... aber sie verallgemeinert sich auf alle n , ϵ .$D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$$n \sim 1/\epsilon$$n,\epsilon$

Zur Rechtfertigung siehe das Papier.

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Wenn ist die Begründung einfach zu Arbeit durch von Hand. Bei n Beobachtungen ist die Anzahl der Köpfe entweder Binomial ( n , p ) oder Binomial ( n , p + ϵ ) . Sie möchten also das kleinste n finden , damit diese beiden Verteilungen unterschieden werden können.$p \gg \epsilon$$n$$\text{Binomial}(n,p)$$\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$$n$

Sie können beide durch einen Gaußschen Wert mit dem richtigen Mittelwert und der richtigen Varianz approximieren und dann Standardergebnisse für die Schwierigkeit der Unterscheidung von zwei Gaußschen Werten verwenden. Die Antwort sollte dann herausfallen. Die Annäherung ist in Ordnung, wenn oder so ist.$p \ge 5/n$

Insbesondere kommt es darauf an, von N ( μ 1 , σ 2 1 ) zu unterscheiden, wobei μ 0 = p n , μ 1 = p + ϵ ) n , σ 2 0 = p ( 1 - p ) n , σ 2 1 = ( p + ϵ $\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$$\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$$\mu_0 = pn$$\mu_1 = p+\epsilon)n$$\sigma_0^2 = p(1-p)n$$\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$. You'll find that the probability of error in the optimal distinguisher is $\text{erfc}(z)$ where $z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$$z \sim 1$$n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$$p \gg \epsilon$.

For the general case... see the paper.